Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
мартингал. Тогда (Р-п. н.)
{<М)со<сх)} = {М"->-}. (13)
Если к тому же М sup | АЛ4" \2 < оо, то (Р-п. н.)
{<М)со<сх)} = {М"->-}, (14)
где
СО
<М)оо = Е М ((АМ")21 Уп-г) (15)
л= 1
с Mq - 0, sFо = {0, П}.
Доказательство. Рассмотрим два субмартингала М2 = ¦= {Ml, аГя) и (М+ 1)Z
= ((A4"+ I)2, аГ"). Тогда в их разложениях Дуба
Л4л = /и л + Ап, (Мп-\-\)2 = т"п-\-А'п величины А'п и А'п совпадают,
поскольку
А'а= Е M(AMI(aTft_1)= Е М ((ЛАД)2 XX
k=1 А=1
И
Л' = Е м (A (АД + I)21 sFX = 2 М (Ш* I o^A-i) =
*=1 ft=i
= Емадм^хх-
*=i
Поэтому из (7) (Р-п. н.)
{<М>о= < оо} = {Лда < 00} Е= {АД X П {(Мп + I)2 ->} = {Мп
В силу (9) для доказательства (15) достаточно проверить, что условие М
sup [ АМп |2 < со обеспечивает принадлежность субмартингала А42 классу
С+.
§ 5. О МНОЖЕСТВАХ СХОДИМОСТИ
507
Пусть т0 = inf {пSs 1: Л4п>0}, а>0. Тогда на множестве {та<оо}
М | &Мха | / {т0 < со}
"? М (А^тй)2 / (та < со} + 2а1/2 VМ (Шха)* I {тв< оо} .о ^ М sup | ДЛ4"
|2 + 2а1/2 j/Msup | ДЛ4Л|2 < со.
Теорема доказана.
В качестве иллюстрации этой теоремы приведем следующий результат, который
можно рассматривать как своеобразную форму усиленного закона больших
чисел для квадратично интегрируемых мартингалов (ср. с теоремой 2 в § 3
гл. IV и со следствием 2 в п. 3 § 3).
Теорема 4. Пусть М = (М", dF п) - квадратично интегрируемый мартингал и А
- (Ап, dF п-г) - предсказуемая возрастающая последовательность с А 73=1,
Лю = оо (Р-п. и.).
Если (Р-п. н.)
Доказательство. Рассмотрим квадратично интегрируемый мартингал т = (тп,
oFn) с
откуда
ОО
(16)
то с вероятностью единица
0.
п-> со.
(17)
П
Тогда
(18)
Поскольку
508
ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
Ai
то, согласно лемме Кронекера ($ 3 гл. IV), --->0 (Р-п. н.),
А П
если с вероятностью единица существует конечный предел lim тп. В силу
(13)
{<m>0O<°o} s {""->}, (20)
поэтому из (18) следует, что условие (16) достаточно для выполнения (17).
Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин gi,
|2. ••• с М?/ = 0, D|<= Пг;>0, и пусть последовательность X = {Хп}п^а
определяется из рекуррентных уравнений
-^я+1 - (r)Хп -f- ^я+1, (21)
где Х0 не зависит от ?Х| Ьг, а 8 - неизвестный параметр, - оо < 0 < оо.
Будем интерпретировать Хп как результат наблюдения в момент времени п и
поставим задачу оценки неизвестного параметра 8. Возьмем в качестве
оценки 0 по результатам Х0, X Хп величину
П-I
2ХкХм
D/t+i
8я=^1-----------. (22)
V Х%
^ 0Ш
полагая ее равной нулю, если знаменатель обращается в нуль. (Величина 8Л
есть оценка, полученная по методу наименьших квадратов.)
Из (21) и (22) ясно, что
п о 1 Мп
9л = 9+лГ*
где
'4-=<л,>-2 т?г-
*=0 *=о
Поэтому, если истинное значение неизвестного параметра есть 9, то
Р (§"-*-8) = 1, (23)
когда (Р-п.н.)
п -"- оо, (24)
Ап
§ 5. О МНОЖЕСТВАХ СХОДИМОСТИ
Покажем, что условия
sup со
п Уп
• 2м(!л'Ь
ОО
509
(25)
П = 1
достаточны для (24) и, следовательно, достаточны для (23). Имеем
Y /л IW Y & _ V
L Z~ETn - Z wn
гг -1 п - I /1 = 1
Л-А-1
Д"
д
sup --]- О2
<Л4)0
Тем самым
По теореме о трех рядах (теорема 3 в § 2 гл. IV) расходимость
ОО
ряда ^ M^fpAlj обеспечивает расходимость (Р-п. н.) ряда
/1=1
Л=1
2 \ТГ^у ПоэтомУ Р {(^)со==со} = 1. Далее, если
2AMl (.M)t'
то
(m\ = V А
< )л и {м)!
И, ПОСКОЛЬКУ Р (<Af)oo - оо) = 1, ТО Р"т)оо<Оо) = 1. Поэтому требуемое
соотношение (24) следует напосредсгвеино из теоремы 4. Теорема 5, Пусть Х
= (Хп, eF п) - субмартингал,
Хп = тп А"
- его разложение Дуба. Если \ АХп j С, то (Р-п. н.)
{{т)со + Лоо < со} = [Хп
или, что то же,
2 М [AV" + (АХп)21 qF< ooi = [Хп -> }.
(26)
(27)
510 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
Доказательство. Поскольку
Ап = 2 М(ДХ, |aF,_i), (28)
* = i
тп = J] [АХ, - М (АХ, | JV0], (29)
* = I
то в силу предположения |ДХ, |=^С мартингал т = (тп, sF") является
квадратично интегрируемым с | Атп | "S 2С. Тогда из (13)
{(^)оэ-Ь АЮ<С оо} е {Х"->¦} (30)
и согласно (8)
{Х" -} ?z {Асо <Z оо}.
Поэтому из (14) и (20)
{Хп -у } = {Х" } П {А" < оо} = {Х" } П {Асо < оо} П {т"
} =
== {Х"->-}П{Ах><оо}П {(т>оо<оо} =
= {Хп->- } П {Лоо-f (ш)оо < оо} = { Лео + (пг)оо < оо}.
Наконец, эквивалентность утверждений (26) и (27) следует из того, что в
силу (29)
(т)п = 2 {М [(АХ,)* | .Г,.!] - [М (АХ, | "Г^)]*},
ОО
и из сходимости ряда ? М (АХ, | аТ,^), состоящего из неотри-
k = 1
СО
цательных членов, следует сходимость ряда [М (АХ, | аГ,^)]2.
Теорема доказана.
4. Задачи.
1. Показать, что если субмартингал Х = (Х", aF") удовлетворяет условию
sup М | Х" | < оо, то он принадлежит классу С+.
П
2. Доказать, что теоремы 1 и 2 остаются справедливыми для обобщенных
субмартингалов.
3. Показать, что для обобщенных субмартингалов (Р-п. н.) имеет место
включение
{inf sup М (XJ|aFm) <оо} = {Х"->-}.
т п ^ т
4. Показать, что следствие к теореме 1 остается верным и для обобщенных
мартингалов.
5. Показать, что всякий обобщенный субмартингал класса С+ является
локальным субмартингалом.
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 511
