Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вариационную задачу (74.1), (74.2) при помощи хорошо известных методов можно сформулировать в виде уравнения в частных производных для экстремальной функции и. Введем с этой целью множители Лагранжа v* и Х = Х(х) и запишем формально
Ь J(ti • D • ti + v*gradtJ: gradu — Xdivu)rfi?=tf. (74.3)
as
Уравнению в вариациях (74.3) соответствует система дифференциальных уравнений
и • D = — gradX + v*V2u, divu — 0 (74.4)
240
Гл. 7. Вязкие жидкости
с граничным условием и = 0 на Вообще говоря, система однородных уравнений (74.4) допускает нетривиальные решения только для ограниченного множества собственных чисел v*. Если v обозначает наибольшее из этих собственных чисел, то обычные методы вариационного исчисления приводят к неравенству
— J и • D • u dv < v,
справедливому для всех и, удовлетворяющих условиям (74.2). Таким образом (формально) доказан следующий результат.
Пусть v — наибольшее собственное число однородной краевой задачи для системы (74.4) в области 23. Тогда основное течение v в области 23 является устойчивым, если
V < V.
Заметим, что между уравнениями (74.4) и уравнениями гидродинамики существует примечательная аналогия.
К сожалению, исследование уравнений (74.4) представляет не простую задачу даже в случае элементарных течений. Для плоских слоистых течений v={?/(y), 0, 0} уравнения, аналогичные системе (74.4), были найдены в работах Орра *) и Гамеля 2). В этом случае D имеет только две ненулевые компоненты Dyx — Dxy — ll2U't а двумерность возмущений позволяет ввести функцию тока ф. В этом случае система (74.4) сводится к уравнению Орра — Гамеля:
v*V^=I{t/'^y+?/>,}. (74.5)
Это уравнение четвертого порядка было детально изучено Орром. Как и следовало ожидать, численные оценки дают грубое приближение границ устойчивости, хотя качественная сторона отражается, конечно, правильно. В частности, для распределения U — ky в канале 0 <1 у d Орр нашел, что критическое число Рейнольдса
Re — = 177.
1) О г г W. McF., Proc. Roy. Irish Acad., A, 27, 69 (1906).
?) Hamel G., Nachr• Ges. Wi$$.f Gottingen, 261—270 (1911).
74. Вариационные методы
241
Линь [22] высказал предположение, что рассматриваемое течение должно быть устойчивым независимо от величины числа Рейнольдса. Кажущееся противоречие между результатами Орра и Линя становится понятным, если вспомнить, что Линь рассматривал только бесконечно малые возмущения; вполне возможно, что бесконечно малые возмущения гасятся даже тогда, когда конечные возмущения приводят к неустойчивости. Ясно, что найденное Орром критическое значение числа Рейнольдса относится именно к этим конечным возмущениям. С дальнейшими приложениями теории Орра читатель может ознакомиться в книге [2], стр. 335—336, 377.
Аналогичным образом можно провести исследование устойчивости течения между двумя вращающимися цилиндрами (течение Куэтта). Если внутренний и наружный цилиндры имеют радиусы Rx и R2 и вращаются с угловыми скоростями 21(>0) и Q2 соответственно, то поле скоростей течения Куэтта имеет вид
Так как D зависит только от коэффициента Л, мы видим, что решение системы (74.4) должно давать критерий устойчивости в виде оценки сверху величины | А |. Точнее, можно доказать, что абсолютная устойчивость (устойчивость по отношению к любым возмущениям) будет иметь место при выполнении условия
Вопрос о точном определении вида функции C(RV R2) остается в настоящее время невыясненным.
Что касается устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям, то, как показал Синг 1), устойчивость
vr = 0, vh = Ar~l-\-Brt
где -
(^1^2)2(22~"Qi) о____ —^121
г>2 г>2 * D р2 п2 *
причем
*) S у n g е J. L., Proc., 5th Int. Congr. Appl. Math., Cambridge, USA, стр. 326—332.
242
Гл. 7. Вязкие жидкости
течений Куэтта имеет место по крайней мере для ш^О, т. е. для Яг/Я2 (/?2/^i)2- Расположение зоны устойчивости (74.5) и найденной Сингом зоны в плоскости (2lf й2)
Рис. 17. Зоны устойчивости для течения Куэтта.
а —зона абсолютной устойчивости для течения Куэтта, б —зоны устойчивости для течения Куэтта при /?1 = 3,55, #2 = 4,03.
показано на рис. 17, а. Для случая RX^R2 применима теория Тэйлора *); зона устойчивости, соответствующая радиусам = 3,55, /?2 = 4,03, изображена на рис. 17, б. При построении зоны абсолютной устойчивости на этом рисунке мы исходили из приближенного значения С (3,55, 4,03)== 11, найденного вычислениями 2).
!) Т а у I о г Q. I., Phil. Trans. Roy. Soc. LondA, 223,289 (1923).
2) Serrin J., Arch. Rational Mech. Anal.t 2, 1(1959).
75. Теорема Гельмгольца — Рэлея о диссипации 243
76. Теорема Гельмгольца — Рэлея о диссипации. Некоторые интересные общие результаты относительно диссипации энергии в движении вязкой жидкости были получены Гельмгольцем1) и Рэлеем 2). В основе этих результатов: лежит предположение о потенциальности поля вектора rotw, т. е. предположение, что
rot (о = grad о. (75. П
Обращаясь к уравнению Навье — Стокса, мы видим, что предположение (75.1) эквивалентно предположению о потенциальности вектора ускорения. Условие (75.1) удовлетворяется, в частности, для плоских слоистых течений, течений Пуазейля и Куэтта, установившегося течения Бельтрами и вообще для любого течения, в котором можно пренебречь инерционными членами. В этот класс входят течения весьма частного вида, но тот факт; что исследования носят законченный и строгий характер, имеет большое значение.
