Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
I*, X, х = const • ртрп
с одними и теми же постоянными т и п. Кроме того, отношения удельных теплоемкостей и числа Прандтля обоих газов постоянны и равны.
Следует отметить, что хотя сформулированные в теореме условия являются довольно жесткими, газы, с которыми мы имеем дело в практических задачах, им, как правило, удовлетворяют.
При более детальном изучении вопроса о динамическом подобии нужно учитывать влияние граничных условий. При решении возникающих при этом сложных задач плодотворными оказываются методы теории размерностей. Однако во всех тех случаях, когда полное Исследование не проведено, нужно иметь в виду сделанное в п. 36 замечание относительно возможной некорректности выводов, теории размерностей.
67. Динамическое подобие; несжимаемые вязкие жидкости. Для несжимаемых жидкостей вопросы динамического подобия являются существенно более сложными в. силу того, что термодинамика несжимаемых жидкостей изучена значительно хуже, чем термодинамика газов. Так как давле-
222
Гл. 7. Вязкие жидкости
ние определено теперь только с точностью до аддитивной постоянной, условие (66Л) следует видоизменить и записать так;
р = Рр' -(- const.
Тогда при постоянном коэффициенте вязкости легко показать, что в соответствующих точках динамически подобных течений равны местные числа Рейнольдса. Дальнейшие результаты связаны с трудно проверяемыми предположениями
Т= Т0Т и Е = kT.
При этих предположениях устанавливается, аналогично тому, как это было сделано выше, что для каждой из жидкостей коэффициенты вязкости и теплопроводности должны иметь вид
|а, х = const • Tm
и что „числа Прандтля" (л&/% равны в соответствующих точках обоих течений. Исследование влияния силы тяжести можно найти в работе Биркгофа [17].
§ 3. Несжимаемые вязкие жидкости
Далее мы будем рассматривать несжимаемые вязкие жидкости с линейной зависимостью напряжений от деформаций
Т = — /?I+2[xD
и будем предполагать, что коэффициент вязкости (л постоянен, так как в противном случае возникают значительные математические трудности. Это предположение хорошо согласуется с экспериментальными данными по крайней мере в тех случаях, когда изменение температуры в области течения не очень велико. Будем предполагать также, что поле внешних сил потенциально, т. е. что f = — gradS.
Теория сжимаемых вязких жидкостей не получила особого развития, за исключением акустического приближения и теории пограничного слоя (см. т. XI и VIII данной Энциклопедии), и поэтому здесь излагаться не будет.
Следует упомянуть, однако, некоторые известные точные решения, в особенности решение типа ударного слоя (см. п. 57),
68. Уравнения движения
223
простые примеры слоистых течений Иллингворта1) и исследование задачи Рэлея, приведенное в работе Хоуарта2).
68* Уравнения движения. Уравнениями движения несжимаемой вязкой жидкости являются уравнение неразрывности
divv = 0 (68.1)
и уравнение Навье — Стокса
Р = —grad (р + р2) -(- jj.V2v. (68.2)
Так как в силу уравнения неразрывности мы имеем
V2v = — rot (о, (68.3)
то, учитывая тождество (17.1), мы можем записать уравне-
ние Навье—Стокса в следующем виде:
j-wX v = — grad//—v rot (о, (68.4)
где Н= !/2^2 —f- р/р+ 2 и v = [x/p. В дальнейшем нам придется не раз обращаться к уравнению энергии (9.1). При сделанных предположениях нетрудно заметить, что Т : D = = 2[xD : D = Ф, где Ф — функция диссипации, введенная в п. 61. Следовательно, уравнение энергии в случае несжимаемой вязкой жидкости можно записать так:
' JL(J4-U) = |t- vda — f<$dv; (68.5)
© 2*
физическая интерпретация различных членов этого уравнения очевидна. Далее, уравнение (63.3) для температуры в случае вязкой несжимаемой жидкости имеет следующий вид:
pcv^=$> + xV*T; (68.6)
здесь предполагается, что cv их постоянны. Так как температура не входит в уравнения (68.1) и (68.2) (предполагается все время, что [х постоянно), уравнение (68.6) может
1) Illingworth С. R., Proc. Cambridge Phil. Soc46, 469 (1950). Дальнейшее исследование плоского течения Куэтта приведено в [23], стр. 362—367.
2) Н о w а г t h L., Quart. J. Mech. AppU Math4, 157 (1951).
224
Гл. 7. Вязкие жидкости
понадобиться только для определения распределения температуры в жидкости. Вопрос о распределении температуры почти не освещен в литературе, за исключением технических приложений*), и мы не будем затрагивать его в этой статье.
Запись приведенных выше уравнений в системе криволинейных координат не представляет труда, если воспользоваться общими методами, указанными в п. 61.
69. Завихренность. Характерной чертой движений вязкой жидкости является наличие завихренности. В этом пункте будут выяснены причины возникновения завихренности и рассмотрены уравнения, описывающие ее распределение.
Невозможность безвихревых течений. Поле скоростей v = gradcp, как легко видеть, удовлетворяет уравнег ниям (68.1) и (68.2), если ср — функция гармоническая. Таким образом, безвихревое движение несжимаемой вязкой жидкости является динамически возможным. Несмотря на это, в действительности такое движение не может быть осуществлено. Причина заключается в специфике граничных условий для вязкой жидкости: на твердых граничных поверхностях должно выполняться условие прилипания (см. п. 64). Это условие, как мы знаем (см. п. 23), не осуществимо при безвихревых движениях несжимаемой жидкости. (Сказанное выше ни в коей мере не противоречит теории пограничного слоя, в которой течение вне пограничного слоя предполагается безвихревым; завихренность течения вне пограничного слоя, конечно, существует, но она настолько мала, что с точки зрения практических приложений это течение вполне можно рассматривать как безвихревое.)
