Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
!) Taylor О. I., Aero. Res. Comm. R. and М., № 598, 1918.
*) Мера завихренности —1| в этом случае также
неограниченно возрастает, несмотря на то» что сама завихренность стремится к нулю*
15*
228
Гл. 7. Вязкие жидкости
результат показывает, как быстро такая поверхность сгладилась бы, если бы она действительно возникла в некоторый момент времени. Этот пример можно рассматривать так же, как движение первоначально покоящейся неограниченной жидкости, вызванное внезапно начавшимся движением плоской стенки (задача Рэлея).
70. Уравнения установившегося движения в естественных координатах. В случае плоского движения мы можем записать уравнение (68.2) в проекциях на направления линий тока и нормалей к линиям тока и получить следующие уравнения:
да . др дм о , др до*
№ ds ds ^ дп 9 № * дп ^ ds
Присоединив к этим уравнениям уравнение неразрывности и формулу для завихренности (см. п. 20)
divv=S+Ar9,==0, (о=~
мы получим полную систему уравнений в естественных координатах.
Для осесимметричного течения мы имеем аналогично
Р^Й' + Й'==~7'Ж(у(в)' р^+ж=у|-^(й>-
И
у ^(W) + tt7 = °. * =
Уравнения для функции тока плоского и осесимметричного течения приведены в книге [36].
71. Энергетические соотношения. Мы обращаем вни-
мание читателя на два полезных и часто используемых тождества: формулу Ламба — Томсона1) для кинетической
*) Lamb Н., A treatise on the mathematical theory of the motion of fluids, Cambridge, 1879 (первое издание книги [8]). Thomson J. J., A Treatise on the motion of vortex rings, London, 1883.
71. Энергетические соотношения
229
энергии
? = Р J*(г • W х \)dv-\-p (j) [д?2(г • п) — (г • v)(v • n)]rfa
о 8
(71.1)
и формулу Бобылева — Форсайта1) для диссипации энергии J Ф dv = (д. J to2 dv -|- 2(* (j) а • n da. (71.2)
U 0 8
В этих формулах через Ь обозначен конечный объем, ограниченный поверхностью $. Заметим, что справедливость формул (71.1) и (71.2) проверяется формальными выкладками, основанными только на уравнении неразрывности div v = О и формуле диссипации Ф = 2jaD : D. В том случае, когда скорости на $ равны нулю, формулы (71.1) и (71.2) принимают более простой вид, а именно
2 = Р J (/-• и X v) fito (71.3)
О
И
j Ф dv = p j ш2 dv. (71.4)
1) У
Для доказательства формулы (71.1) мы воспользуемся следующими тождествами:
div (q2г) = 3q2 -|- г • grad q2t
div [(r’V)v] = ?4v>rX® + {r- grad q2;
при проверке второго из них надо иметь в виду, что divv = 0. Сравнивая эти тождества и применяя теорему Гаусса — Остроградского, получаем
^ |д q2t — (г • v) v] • n da = J q2 — v • г X w) dv,
g 0
откуда сразу следует формула (71.1). Формула (71.1) легко обобщается на случай сжимаемык жидкостей; в этом случае
!) Бобылев Д. К., Math. Ann, 6, 72 (1873); Forsythe A. R., Mess. Math., 9, 134 (1880).
230
Гл. 7. Вязкие жидкости
она имеет вид
J q2 dv == J [(г • v) 0 —j— г • (D X vj dv —j—
v v
+ (j) [q2 [r • n) — (r • v) (v • n)] da. (71.5)
s
Заметим, что в формулах (71.1) и (71.5) подинтегральную функцию интеграла по поверхности можно записать в более симметричной форме, а именно так:
у [(г X v) • (v X п) -Кг • v) (v • п)].
Доказательство формулы (71.2) основывается на том. что в силу уравнения (28.1)
D : D = у о)2 +div а,
так как 0 = divv = O. Отсюда формула (71.2) получается простым применением теоремы Гаусса—Остроградского.
Приведенные здесь доказательства значительно проще аналогичных доказательств Ламба ([8], стр. 273 и 726). Несколько других энергетических соотношений было приведено нами ранее (см. п. 26).
72. Теоремы единственности для течений вязкой жидкости. Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, заполняющую ограниченный объем 23 = 23 (t), граница которого в состоит из конечного числа замкнутых твердых поверхностей, движущихся заданным образом (твердые тела, движущиеся в ограниченном сосуде). В силу условия прилипания (см. п. 64) поле скоростей жидкости на границе S совпадает с полем скоростей границы © в ее собственном движении. Естественно поставить вопрос: будет ли движение жидкости в этих предположениях полностью определяться распределением скорости в некоторый начальный момент t = 0? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема: если д$а течения в ограниченной области
72. Теоремы единственности
231
^ = 33(Т) имеют одно и то же распределение скорости при t = 0 и на границе 93, то они тождественны1).
Доказательство этой теоремы основано на простом тождестве для кинетической энергии, соответствующей разности скоростей двух движений. Пусть V И V* — два ПОЛЯ скоростей, удовлетворяющих условиям теоремы. Введем в рассмотрение величины
где D — тензор деформаций, соответствующий полю v. Действительно, так как v и v* являются решениями уравнения Навье — Стокса (68,.2), то
Умножив это уравнение скалярно на и и воспользовавшись условием несжимаемости div и == div v = 0, мы получим ра-
!) Эта теорема принадлежит Фоа [F о а Е., L’Industria (Milan),
43, 426 (1929)]. Теорема Фоа была доказана независимо Д. Е. До-лидзе [ДАН (JCCP, 96, 437 (1954)] и обобщена на случай сжимаемых жидкостей Граффи [Graff і D., J. Rational Mech. Anal., 2, 99 (1953)]. См. также работу автора этой статьи (Arch. Rational Mech. Anal., 1959).
