Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 79

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 .. 82 >> Следующая

76. Теоремы Бернулли. Из условия rot со = grad а, введенного в предыдущем пункте, вытекают и некоторые другие следствия. В частности, для течений, удовлетворяющих этому условию, поле вектора ускорений потенциально:
а = — grad — Q -)- vaj
‘) Thomas Т. Y., Amer. J. Math., 64, 754 (1942); Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 29, 243 (1943). Томас рассматривал только трубки с круговым сечением.
76. Теоремы Бернулли
247
и, следовательно, на рассматриваемый случай переносятся почти все результаты, приведенные в гл. 3. Сохраняют силу, например, формулы (17.3) и (17.5) для конвекции завихренности, теорема Кельвина о циркуляции и теоремы Гельмгольца о вихрях. Теорема Кельвина, в частности, показывает, что необходимым и достаточным условием выполнения соотношения rot (0== grad о
в течении несжимаемой вязкой жидкости является условие сохранения циркуляции по любому контуру, движущемуся вместе с жидкостью.
Наконец, так как вывод теоремы Бернулли в п. 18 был основан только на существовании потенциала ускорения, результаты этого пункта останутся в силе, если мы всюду прибавим к Н добавочный член vo. Таким образом, в установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости, сохраняющем циркуляцию, функция
-§-42-fy4^4-vo
постоянна вдоль линий тока и вихревых линий. Аналогичное утверждение справедливо и при более слабом требовании независимости от времени только поля завихренности (см. п. 18).
Класс течений, удовлетворяющих условию (75.1), охватывает лишь незначительную часть всех возможных течений вязкой жидкости, однако течения этого класса могут оказаться полезными для построения новых точных решений уравнений Навье — Стокса при помощи полуобратных методов !). Эти возможности еще относительно мало изучены.
Для течений, не сохраняющих циркуляцию [или, эквивалентно, для течений, не удовлетворяющих условию (75.1)], теорема Бернулли в ее обычном виде, вообще говоря, неверна. Легко показать, однако, что2) в установившемся течении функция Бернулли
"=4«,+f+a
постоянна вдоль каждой траектории поля направлений __________ X = (ю X v) X rot to. (76.1)
') Nemenyl P. F., [19], т. 2, стр. 123—151.
2) T r u e s d e 11 C., Phys. Rev., 77, 535 (1950).
248
Гл. 7. Вязкие жидкости
Этот результат является непосредственным следствием уравнения (68.4). Поле вектора X вырождается в тех случаях, когда rot (0 = 0, когда (о X v = 0 или когда векторы rot (о и (*) X v параллельны. В первых двух случаях поле вектора rot (О потенциально и применима предыдущая теорема Бернулли. Наконец, если векторы rot со и (о X v параллельны, то из уравнения (68.4) непосредственно следует, что верна теорема Бернулли в ее классической формулировке, т. е. что функция Н постоянна на линиях „тока и вихревых линиях.
Отметим еще одно интересное свойство функции Н\ в установившемся движении вязкой жидкости максимум Н достигается на границе области течения. Для доказательства этого утверждения заметим, что в силу уравнения (68.4) имеют место следующие соотношения:
V2# = div grad Н = div (v X w) (76.2)
и
v • grad H = — vv . rot (0. (76.3)
С другой стороны, мы имеем легко проверяемое тождество
div (v X w) = ш2 — v • rot (о,
которое позволяет объединить соотношения (76.2) и (76.3). В результате находим для Н следующее уравнение:
vV2tf— v • grad Н = vo)2. (76.4)
Как известно, для эллиптических уравнений вида (76.4) справедлив принцип максимума (см. примечание 1 на стр. 136). Напомним, что аналогичные результаты были получены нами в п. 28.
77. Асимптотическое поведение течений вязкой жидкости. Исследование асимптотики течений вязкой жидкости на бесконечности представляет большой теоретический и практический интерес. Для приближений Стокса и Озеена асимптотические формулы имеют вид!)
v = U + 0(r”1) при г—>оо, (77.1)
однако аналогичных формул для точных уравнений Навье — Стокса пока еще получить не удалось. Имеются предвари-
*) См. книгу Ламба [8], § 336, 342, а также работу Финна и Нолла [F і п п R., N ol 1 W., Arch. Rational Mech. Anal., 1, 97 (1957)].
77. Асимптотическое поведение течений
249
тельные результаты Удескини !) и Беркера2), которые рассматривали задачу с несколько другой точки зрения. Эти авторы предполагали заранее, что в установившемся потоке вязкой жидкости, набегающем на неподвижное тело, справедливы асимптотические формулы вида
v = U + О (г"й), Dv, D2v =г О (77.2)
где D обозначает оператор частной производной первого порядка по любой из переменных, и исследовали вопрос о допустимых значениях показателя k. Оказалось, что k^2.
В доказательстве Беркера исходным пунктом является тождество ^ ^ _ ш2 — у . rof w
В силу уравнения (68.4) и предположения, что движение является установившимся, имеет место равенство
v • rot со = — -і- v • grad Н — — ^ div (#v).
Сравнение этих двух формул приводит к соотношению
со2 = div |vXw------- ,
интегрируя которое по сфере (достаточно большого) радиуса R, содержащей внутри себя обтекаемое тело, и используя теорему Гаусса — Остроградского и граничное условие v = 0, мы получаем
J co2^ = ||vX(0 — ^ HvJ * n da, (77.3)
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed