Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Различного рода теоремы единственности так называемых „слабых* решений уравнений Навье — Стокса (см. ниже} можно найти в указанных в конце этого пункта работах Лере, Киселева и Ладыженской.
2) Уравнение (72.1) можно найти в работе Рейнольдса [Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., A, 186, 123 (1894)] и в работе Oppa [Proc. Roy. Irish. Acad., A, 27, 69—138 (1907)].
Часто оказываются полезными другие формы соотношения (72.1), вытекающие из тождества
j grad u : grad u dv = j | rot u |2 dv = 2 J" D': D' dv, (72.1')
справедливого в предположении, что div и = 0ии-0на^. Равенство (72.Г) легко доказать методами, указанными в п. 28.
11 = V* — V,
Тогда мы имеем2)
= — J (vgradu : gradu + u . D • u)dv, (72.1)
-|~ v* • grad u + u • grad v = — grad ~ -.............- -f-vV2u.
232
Га 7. Вязкие жидкости
венство
Ш (т ^2) = — v u : ?raci u — u D u +
-|- div grad ^ u2 — —^p u — ~ u2\,
интегрирование которого по объему 23 при условии и = О на © приводит к формуле (72.1).
Обозначим теперь через — m нижнюю грань характеристических чисел матрицы D в промежутке времени 0 < t < Т; заметим, что 0, так как SpurD = div v — 0. Из определения т и свойств характеристических чисел следует, что в каждой точке S3 и для всех t> 0 < t < 7, выполняется неравенство
и • D • и ^ — ти2. (72.2)
Тогда в силу формулы (72.1)
~ т J и1 dv = 2mR.
S3
Переписав это неравенство в виде
О<0
и проинтегрировав от t = 0 до t — T, мы получим, что $(Т)е-2тТ^о.
Так как момент Т был выбран произвольно, это означает, что величина $ тождественно равна нулю. Следовательно, и = 0 и поля скоростей v и v* совпадают. При соответствующих предположениях относительно асимптотического поведения течения при г—> оо установленный выше результат может быть перенесен на случай обтекания бесконечным потоком жидкости конечного числа ограниченных тел. В частности, если для v и v* справедливы асимптотические представления
v = и -(- О (r~k), grad v — O (r~k+l), р== р^-^О (r-ft+1)^
где k > 3/2, то интеграл в формуле для $ сходится и при-веденное выше доказательство остается справедливым. (Эти условия являются довольно жесткими и, по-видимому, не выполняются в зоне возмущенного движения за препятствием;
73. Устойчивость течений вязкой жидкости 233
можно предложить условия другого рода, которые допускают, однако, только специальный характер движения в возмущенной зоне.)
Мы не имеем возможности остановиться здесь на вопросе о существовании решений уравнений Навье — Стокса, удовлетворяющих заданным начальным и граничным условиям. Эта исключительно трудная задача решена еще не полностью, хотя ей посвящены многочисленные исследования. Не ставя перед собой трудно выполнимой задачи дать полную библиографию, мы ограничимся перечнем монографий, которые содержат основные результаты, полученные к настоящему времени:
Oseen С. W., Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydro-dynamik, Leipzig, 1927.
L e г a у J., Etude de diverses equations integrates nonlineaires et de quelques problemes que pose l’hydrodynamique, J. Math. Pures Appl. (9), 12, 1—82 (1933).
L e г a у J., Essai sur les mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parois, J. Math. Pures Appl. (9), 13, 331—418 (1934).
Leray J., Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math., 63, 193—248 (1934).
Долидзе Д. E., Нелинейная краевая задача для неустановив-шихся движений вязкой жидкости, Прикл. мат. и мех., 12, 165—180 (1948).
Н о р f Е., Ober die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynami-schen Grundgleichungen, Math. Nachr. 4, 213—231 (1951).
К и с e л e в А. А., Ладыженская О. А., О существовании и единственности решений задачи Коши для вязких несжимаемых жйдкостей, Изв. АН СССР, 21, 635—680 (1957).
Основная трудность задачи заключается в том, что даже гладкие начальные данные приводят в некоторых случаях к решениям, непрерывно дифференцируемым только на ограниченном отрезке времени. Это вызывает необходимость введения различного рода „слабых" решений уравнений Навье — Стокса (см. работы, указанные выше), исследование которых требует привлечения тонких математических методов.
73. Устойчивость течений вязкой жидкости. С проблемой единственности тесно связаны более сложные вопросы гидродинамической устойчивости. Рассмотрим движение жидкости, заполняющей объем 23, с заданным распределением скорости на границе этого объема. В большинстве задач указанного типа область 23 ограничена твердыми стенками и граничные условия определяются движением этих стенок (например, течение Куэтта). Предположим теперь, что рассматриваемое поле скоростей получает в начальный момент t = 0 малые возмущения. Естественно поставить вопрос
234
Гл. 7. Вязкие жидкости
о характере последующего движения при неизменных граничных условиях: будет ли это движение мало отличаться от невозмущенного или даже малые возмущения начальных данных существенно меняют характер течения.
Есть два различных метода исследования этой задачи: первый включает в себя стандартную процедуру линеаризации, второй основан на формуле (72.1). Мы имеем возможность рассмотреть только второй из этих методов1). При использовании этого метода задача сводится к доказательству того, что Л стремится к нулю, так как отсюда сразу следует, что и стремится к нулю почти всюду.
