Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Серрин Дж. -> "Математические основы классической механики" -> 76

Математические основы классической механики - Серрин Дж.

Серрин Дж. Математические основы классической механики — М.: Иностранная литература, 1963. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskieosnovi1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 .. 82 >> Следующая

237
Кроме довольно грубых г) численных оценок границ устойчивости, из неравенств (73.2) и (73.3) следует ряд интересных результатов качественного характера. Например, возмущения достаточно малой длины волны d затухают независимо от характера основного течения. Иначе говоря, даже в турбулентном движении не могут существовать „вихри" малого диаметра; макроскопически течение может представляться запутанным случайным процессом, но если наблюдения того же течения проводятся прибором с достаточной разрешающей способностью, то структура течения будет всегда выглядеть регулярной.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда скорость v основного течения равна нулю. Пусть область 93 ограничена неподвижными твердыми стенками, так что v = 0 на ©; тогда кинетическая энергия любого движения в 33 в соответствии с условием (73.2) должна стремиться к нулю по закону
?< (73.7)
где ?0 — кинетическая энергия движения при ? = 02). Остается, однако, неясным, будет ли само поле скоростей при t—>.oo стремиться к нулю. В качестве последнего следствия докажем теорему единственности установившихся течений в фиксированной ограниченной области Ъ.
Пусть v и v* — два установившихся течения в области і) с заданным, не зависящим от времени распределением скорости на границе D, пусть —т — нижняя грань характеристических чисел тензора деформаций течения v и пусть V = max | v|. Тогда течения v и v* должны совпадать, если
или /гг < 3vtu2/^/2 или V <7 j/"37rv/rf. (73.8)
Доказательство этого утверждения очевидно: кинетическая энергия поля и = v — v* должна быть постоянной и вместе с тем удовлетворять оценкам (73.2) и (73.3). При
!) См., например, [2], стр. 336, 377, и работу Томаса, на которую мы ссылались выше.
2) Неравенство (73.7) приводится в работе Кампе-де-Ферье [К a m р ё d е F ё г і е t J., Ann. Soc. Sci. Bruxelles (1), 63, 36 (1949)]; аналогичное неравенство для плоских течений, как указывается в этой работе, было ранее установлено Лере.
238
Гл. 7. Вязкие жидкости
выполнении хотя бы одного из неравенств (73.8) отсюда следует, что $0 = & = 0 и v = V*.
Сформулированная теорема существенно зависит от предположения (73.8); в общем случае можно, по-видимому, построить пример неединственности.
Как показывает предыдущий анализ, при больших величинах вязкости все течения с одинаковым распределением скорости на границе после достаточно долгого времени будут одинаковы. С другой стороны, при малых значениях вязкости (или, эквивалентно, при больших числах Рейнольдса) наблюдаемые течения уже не стремятся к единственному предельному течению. Указанные факты легко проиллюстрировать на простых примерах течений Куэтта и Пуазейля, для которых устойчивый ламинарный режим возможен только при малых числах Рейнольдса. Исходя из экспериментальных результатов, Хопф 1) высказал предположение о существовании класса решений уравнений Навье — Стокса, соответствующих течениям, наблюдаемым после достаточно долгого промежутка' времени, когда влияние начальных данных уже не сказывается. При больших величинах вязкости этот класс исчерпывается одним решением; при уменьшении вязкости таких решений становится все больше и больше. При фиксированном v класс Хопфа выделяет „устойчивое" многообразие в фазовом пространстве всех возможных решений. В работе Хопфа, на которую мы ссылались выше, это предположение сформулировано более четко и подтверждено интересной „математической моделью" уравнений Навье — Стокса, решения которой можно выписать в замкнутом виде.
В связи с гипотезой Хопфа было высказано предположение, что при t—> оо кинетическая энергия произвольного течения убывает до некоторой определенной величины, зависящей только от величины вязкости и граничных условий. Эта задача была исследована Хопфом 2) в предположениях, сформулированных в начале данного пункта. Полученные им результаты в сущности просты, но громоздкие выкладки вынуждают нас отослать читателя к первоисточнику.
!) Hopf Е., Comm. Pure Appl. Math., 1, 303 (1948), Ргос. of the Conference on Differential Equations, Univ. Maryland, 1956, стр. 49.
2) Hopf E., Math. Ann., 117, 764 (1941).
74. Вариационные методы
239
Исследование течений в неограниченных областях в принципе проводится так же, как и для ограниченных областей* поэтому мы предоставляем читателю соответствующее обобг щение приведенных выше результатов.
74. Вариационные методы, связанные с вопросами устойчивости. В предыдущем пункте были найдены критерии устойчивости по отношению к „произвольному" возмущению и, хотя на самом деле далеко не все векторные поля и являются допустимыми. Для более полного исследо? вания вопросов устойчивости рассмотрим задачу о максимуме правой части уравнения (72.1) при дополнительном условии div и = 0. После надлежащей нормировки мы приходим к следующей вариационной задаче для исследования устойчивости:
минимизировать интеграл
J и • D • u dv (74.1)
85
при дополнительных условиях
div 11 = 0, f gradu:gradudv=l, u = 0 на <5. (74.2)
as
Если обозначить минимум интеграла (74.1) через —v, то при v < v величина, стоящая в правой части уравнения (72.1), будет отрицательна для всех „гидродинамически допустит мых“ возмущений и, следовательно, основное течение будет устойчивым (в среднем).
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed