Математические основы классической механики - Серрин Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В некоторых случаях, вопреки общему правилу, безвихревое движение вязкой жидкости является возможным. Примером может служить течение с потенциалом ср = А/r (вихрь) в области, внешней по отношению к вращающемуся круговому цилиндру; А выбирается так, чтобы на стенке цилиндра выполнялось условие прилипания. Составить, полный перечень таких исключительных случаев, по-видимому, невозможно, однако можно с уверенностью сказать, что их немного.
1) См. статью Сквайра [39], т. 2, а также книгу Холла [Н а 11 N. А., The thermodinamics of fluid flow, New York, 1951].
69. Завихренность
225
Распределение завихренности. Основным уравнением для распределения завихренности является следующее уравнение:
^jjr= (О • grad v + vV2<*>, (69.1)
которое легко получить применением оператора rot к уравнению (68.4). Если в правой части этого уравнения отсутствовал бы второй член, то распределение завихренности в вязкой жидкости удовлетворяло бы теоремам Гельмгольца. Наличие этого члена показывает, однако, что малые изменения завихренности в области течения в общем случае вызывают диффузию завихренности. Рассуждения такого рода приводят к следующему практически важному результату: завихренность не может инициироваться во внутрен-них точках области течения вязкой несжимаемой жидкости, так что причиной появления завихренности является ее диффузия с граничных поверхностей. В реальных жидкостях существенно отличная от нуля завихренность наблюдается только в тех частях жидкости, которые проходят близко от твердых границ; ярким примером может служить спутное течение, которое возникает за кормой корабля и завихренность которого порождается только в слоях воды, проходящих в непосредственной близости от бортов. На этом же примере можно проследить затухание вихрей в возмущенной зоне вследствие вязкости. Сформулированный выше результат можно получить также, исследуя скорость изменения циркуляции вдоль замкнутой кривой (?. В силу уравнений (25.1) и (68.2) мы имеем
-J^^v*dx = (j)a-dx = vJ* v2v da;
(5 (5 ©
здесь через © обозначена произвольная поверхность, натянутая на кривую &. В случае плоского течения уравнение (69.1) сводится к простому уравнению
§- = vV2(o, (69.2)
напоминающему уравнение теплопроводности. Полученная аналогия с потоком тепла служит убедительным свидетельством диффузии завихренности с граничных поверхностей внутрь области течения,
15 Зак. 1160
22б:
Гл. 7. Вязкие жидкости
Примеры. Интересно проследить процессы возникновения и затухания вихревых возмущений в вязкой жидкости на примере некоторых частных решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим сначала движение по концентрическим окружностям с центром на оси, в котором величина скорости q является функцией расстояния от этой оси. Завихренность определяется по формуле (12.12), а именно
^ = (69.3)
Воспользовавшись тем, что <о зависит только от г, мы вместо уравнения (69.2) получаем следующее уравнение:
да___ /д2оо , 1 дш\
Ж v \372" 'ТЖ)'
Частное решение этого уравнения
гдех=й. (69-4)
соответствует затуханию потенциального вихря интенсивности А. Подставив это значение <о в уравнение (69.3), мы находим
« = ^(‘
добавочное слагаемое f(t)/r здесь опущено, исходя из требования конечности q на оси z. Легко видеть, что это течение в начальный момент времени является безвихревым с циркуляцией А (по контуру, охватывающему ось z) и во все время движения имеет одну и ту же суммарную завихренность. В фиксированной точке г Ф О завихренность
равна нулю при ^ = О и t = oo и достигает максимума
в некоторый промежуточный момент времени *). Нужно заметить, что кинетическая энергия, момент количества движения и энергия диссипации представляются в рассматриваемом примере расходящимися (к бесконечности) интегралами, так что такое течение в неограниченной области физически неосуществимо.
*) Мера завихренности этого движения 28 == xl(eX — 1 — у) монотонно возрастает вместе с t от 2В = 0 при t = 0 до 2В == оо прк t == оо. Таким образом, относительная роль вращательного движения возрастает, хотя завихренность стремится к нулю.
69. Завихренность
227
Более реальное движение соответствует полю завихренности 1) ¦
ш = 2
(это решение получается дифференцированием решения (69.4) по t). Скорость определяется из формулы
_v
q ~ е •
В этом случае циркуляция равна нулю при t = О, суммарные величины энергии и диссипации энергии конечны, а момент количества движения L постоянен, так как
L = j 2tz • prq • г dr = рЛ.
В фиксированный момент времени ?>0 скорость равна_ нулю на оси z и на бесконечности и достигает максимальной величины Л/2тс на расстоянии r = ]/2v?. Величина
го=уЩ>
была названа Тэйлором „радиусом" вихря в момент времени tQ. Так как максимальная скорость затухает по закону t~*hy то время, за которое интенсивность вихря радиуса г0 с максимальной скоростью q0 уменьшится до значения, соответствующего максимальной скорости равно
t —10 = (2,/з — l) t0 = 0.296ro/v.
Тэйлор принимает это число за меру скорости затухания вихря2).
Следует отметить в заключение пример, рассмотренный Ламбом ([8], стр. 740) и иллюстрирующий исчезновение поверхности разрыва в виде соприкасающихся слоев, движущихся с различными скоростями. Полученный при этом
