Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что полученный результат справедлив только в том случае, если за время действия силы тело повернется на небольшой угол, так что плечо силы I в течение всего промежутка времени Дt можно с достаточной степенью точности считать постоянным.
Легко видеть, что скорость точки О', лежащей от центра инерции С на расстоянии х, определяемом условием
OX = Vc, т. е. fix = wc, (41.15)
будет равна нулю (рис. 112). Следовательно, ось, проходящая через точку О', является мгновенной осью вращения. Подставив в (41.15) найденные нами выражения для Wc и р, найдем, что
^ I с
ml
В результате действия силы тело приобретает кине* тическую энергию
,Iiv2c L 7cto2 _ т (fMV Ic Zfl ЛП2 __Ic+ml2
1 “ 2 + 2 2 I т j ~г 2 V Ic I 2mlc U ‘
Зависимость T от I объясняется тем, что путь, про« ходимый точкой приложения силы за время At, растет с увеличением I, а следовательно, растет и работа, совершаемая силой над телом.
§ 42. Свободные оси. Главные оси инерции
Если какое-либо тело привести во вращение вокруг произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменяется: ось либо поворачивается, либо перемещается относительно инерциальной системы отсчета. Для того чтобы произвольно взятую ось вращения тела удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы,
162
Например, если тело имеет такую форму, как на рис. 113, и вращается вокруг оси OO с угловой скоростью со, то, чтобы удерживать ось вращения неподвижной, необходимо приложить к ней силы, обеспечивающие вращательный момент M = ma2rl.
В самом деле, чтобы осуществить движение масс т по окружностям радиуса г, к ним должны быть приложены силы и f J1 каждая из которых равна пт2г. Эти силы образуют пару с моментом M =
=mio2rl. Если не создать этого момента, поместив, например, ось в подшипники, которые действуют на ось с соответствующими силами fi и їг1), то ось враще' ния будет поворачиваться в направлении, указанном стрелкой.
Если стержень, связывающий массы т, перпендикулярен к оси вращения OO и массы находятся на различных расстояниях г і и г2 от оси (рис. 114), то для предотвращения перемещения оси в про-странстве подшипники должны действовать на ось с одинаково направленными силами fi и їг, сумма модулей которых равна разности модулей центростремительных сил fj и f'2:
fi + f-2 = та,2 (г, - гг)
(при равенстве отрезков а и b силы fі и f2 будут одинаковы по величине; в противном случае должно выполняться условие: ha = f2b).
Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на нее каких-либо сил извне,
называется свободной осью тела. В случае,
'). Направления этих сил будут изменяться с поворотом тела вокруг осп.
Рис. 113.
11*
163
изображенном на рис. 114, при п = г2 ось OO будет, очевидно, свободной осью.
Можно доказать, что для любого тела существуют трн взаимно-перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.
У однородного параллелепипеда (рис. 115) главными осями инерции будут, очевидно, оси OiOi, O2O2 и O3O3, проходящие через центры противолежащих граней.
У тела, обладающего осевой симметрией (например, у одно-
о,—
родного1) цилиндра), одной из главных осей инерции является ось симметрии, в качестве двух других осей могут служить две любые взаимно-перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр инерции тела (рис. 116). Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.
У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, плотность которого зависит только от расстояния от центра, главными осями инерции являются три любые взаимно-перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции. Следовательно, ни одна из главных осей инерции не фиксирована.
Моменты инерции тела относительно главных осей в общем случае различны: /|?=/2?=/3. Для тела с осевой симметрией два момента инерции имеют одинаковую
*) Достаточно, чтобы плотность тела была в каждом сечении функцией только расстояния от оси симметрии.
164
величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: /, = I2 ф I3. И, наконец, в случае тела с центральной симметрией все три момента будут одинаковы: I1 —
= Iz = Iz-
Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей, соответ-ствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение же вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту, будет
Рис. 117.
неустойчивым. Это означает, что силы, возникающие при малейшем отклонении оси вращения от этой главной оси, действуют в таком направлении, что величина этого отклонения возрастает. При отклонении вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом сил тело возвращается к вращению вокруг соответствующей главной оси.
