Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
(40.2) запишется следующим образом:
/P=Ztfxp, (41.9)
где / — момент инерции цилиндра относительно его оси, равный для сплошного однородного цилиндра у mR2.
В уравнениях (41.8) и (41.9) содержатся три неизвестные величины: fтр, р и wc. Ho между после'дними двумя величинами имеется связь (41.7), вытекающая из отсутствия скольжения. Решая совместно уравнения
{41.7) — (41.9), найдем (с учетом того, что I ~ ~mR2)-.
Up*= -jtng sin у, (41.10)
= g- g sin ф, (41.11)
P =-|r sin ф. (41.12)
Теперь, когда мы знаем величину силы трения покоя
(41.10), обеспечивающую скатывание цилиндра без скольжения, можно установить условие, при котором такое скатывание возможно. Для скатывания без скольжения сила (41.10) не должна превышать максималь-
') При наличии скольжения сила /тр в (41.8) будет не силой трения покоя, а силой трения скольжения.
158
ного значения силы трения покоя f0, равного, как мы видели, kmg cos <р:
Если тангенс угла наклона плоскости <р превышает утроенное значение коэффициента трения покоя между цилиндром и плоскостью, скатывание не может происхо-дить без скольжения.
Как следует из (41.11), центр инерции цилиндра движется равномерно-ускоренно. Зная ускорение wc, можно найти время скатывания цилиндра fCK, т. е. время, за которое цилиндр пройдет путь, равный /г/sin ф. Этот путь связан с Wc и tcii следующим соотношением:
откуда, подставляя значение (41.11) для wc, получаем:
Это время, как и wc, не зависит от массы и радиуса цилиндра1); оно определяется только углом наклона плоскости ф и разностью уровней ее краев h.
Скорость центра инерции при выходе цилиндра на горизонтальный участок будет равна
Отметим, что сила трения (41.10) работы над цилиндром не совершает, так как точки цилиндра, к которым приложена эта сила, в каждый момент времени неподвижны.
‘) Это справедливо только для однородного сплошного цилиндра.
g- mg sin ф ^ kmg cos ф.
Отсюда получается, что
h WcI2k
sin ф 2
а угловая скорость цилиндра
159
Для горизонтальной плоскости (ф = 0) по формулам
(41.11) и (41.12) получается, что цилиндр, если ему сообщить предварительно некоторую поступательную и соответствующую (такую, чтобы не было скольжения) угловую скорость, будет двигаться без ускорения. На самом деле движение будет замедленным. Это замедление обусловливается, силой трения качения, которая направлена так, что ее момент уменьшает угловую скорость о, а сама сила вызывает соответствующее (опять-таки такое, чтобы не возникало скольжения) замедление центра инерции. Сила трения качения совершает над катящимся телом отрицательную работу.
При решении задачи о скатывании цилиндра с на* клонной плоскости трением качения мы пренебрегали.
2-й способ решения. Поскольку сила трения работы не совершает (трением качения пренебрегаем), полная энергия цилиндра остается постоянной. В начальный момент кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия равна rtigh. В конце скатывания потенциальная энергия становится равной нулю, зато появляется кинетическая энергия, равная [см. (40.9)]
Так как скольжение отсутствует, Vc и со связаны соотношением Vc = Co/?. Подставив в выражение для ки-
vC 1 9
нетической энергии со >¦=• -щ- и Ic ”= J niRr, получим:
Полная энергия в начале и в конце скатывания должна быть одинакова:
Itiv1c «= mgh,
откуда
а угловая скорость
"с * , /4
Пример 3. Тело массы т подвергается в течение очень короткого промежутка времени At действию постоянной силы f. Все остальное время, кроме промежутка Дt, на него не воздействуют никакие тела. До сообщения телу импульса f Д/ оно покоится. Определить, как будет двигаться тело после того, как прекратится действие силы.
Уравнение (41.1) в данном случае имеет вид mwc = f,
откуда
Wc = ^f. (41.13)
Следовательно, пока действует сила, центр инерции тела будет двигаться равномерно-ускоренно в направлении действия силы.
Обозначим плечо силы f относительно центра инерции буквы I (рис. 112). Проведем через центр инерцни С ось OO таким образом, чтобы она была перпендикулярна к плоскости, проходящей через линию, вдоль которой действует сила, и через центр инерции тела. Уравнение
(41.2) относительно этой оси имеет вид
/ср = М,
где Ic — момент инерции тела относительно оси 00, a Af = Zr/ — момент силы f относительно той же оси. Решая это уравнение относительно р, находим:
Р = -Г = Г-- (41Л4>
с с
Таким образом, все время At, пока действует сила, тело ведет себя так, что его центр инерции движется прямолинейно в направлении действия силы с постоянным ускорением (41.13) и одновременно происходит вращение тела вокруг оси, проходящей через центр инерции, с постоянным угловым ускорением (41.14). К концу промежутка времени At скорость центра инерции достигает значения
і Ы
vc = Wc At = ,
Рис. 112.
11 И. В. Савельев, т. I
161
а угловая скорость станет равной
„ Mtd fl Kt ю = P Д* = —.
‘с ‘с
Найденные нами значения vc и со определяют движение тела после того, как прекратится действие силы.
