Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
154
но инерциальной системы. Действительно, силы инерции, приложенные к элементарным массам Дт,- равны —AmiW0, т. е. имеют одинаковое направление и пропор* циональны массе (для всех точек неинерциальной системы, движущейся поступательно, Wo одинаково). Повторив рассуждение, приведшее нас к формуле (41.3), можно показать, что результирующая сил инерции равна —mwo (m— масса тела) и приложена к центру ниерции.
Относительно оси. связанной с поступательно дви* жущейся неинерциальноіі системой отсчета (т. е. оси, движущейся поступательно в инерциальной системе) Я проходящей через центр инерции тела, момент сил инерции равен нулю (результирующая сил инерции в этом случае, как мы видели, приложена к центру инерции). Поэтому уравнение (41.2) можно писать относительно такой оси, не учитывая сил инерции. Подчеркнем еще раз, что так можно поступать только в отношении оси, проходящей через центр инерции и не изменяющей своего направления (не поворачивающейся) по отношению к инерциальной системе отсчета. При плоском движении такой осью является ось, проходящая через центр инерции и перпендикулярная к плоскости, в ко* торой происходит движение.
Условия равновесия твердого тела. Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного движения или вращения. В соответствии с (41.1) и (41.2) для
этого необходимо и достаточно, чтобы были выполнены
два условия:
1) сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:
2f/ = 0, (41.4)
2) результирующий момент внешних сил относительно любой неподвижной оси должен быть равен нулю:
21 Mi-O. (41.5)
Практически оказывается достаточным, чтобы условие (41.5) выполнялось для трех любых неподвижных осей, не лежащих в одной плоскости (например, для
155
координатных осей х, у и г). Тогда оно будет выполняться и для любой иной оси.
Соотношения (41.4) и (41.5) и являются условиями равновесия твердого тела.
Примеры на применение законов механики твердого тела
Пример 1. Дана однородная балка, лежащая на двух опорах (рис. 110). Определить реакции опор ft и f2.
Равнодействующая сил тяжести равна P и приложена к центру инерции. Балка неподвижна. Поэтому
согласно (41.4) сумма сил Р, fi и їг должна быть равна нулю. Отсюда следует, что
P = fi + fS,
где Р, fі и fs — модули составляющих сил. р. Результирующий момент
всех действующих на балку Рис- 1сил относительно любой оси также должен быть равен нулю (см. (41.5)), в частности, должен быть равен нулю момент относительно левой точки опоры, что дает:
р а-^“М* -/.-«¦
Мы получили два уравнения с неизвестными f\ и Решая их, находим:
P I — 2/2
2 l-(h+l2)'
P 1-21,
Пример 2. Однородный цилиндр радиуса R и массы т скатывается без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен ф (рис. 111), а высота h (h'C2?R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Найти скорость центра инерции и угловую скорость вращения цилиндра в момент выхода цилиндра на горизонтальный участок.
кИ
T
156
Дадим два варианта решения.
1-й способ решения. Цилиндр будет двигаться под действием трех сил: P = mg, силы трения fTp и реакции наклонной плоскости fr. Реакция fr в соответствии с третьим законом Ньютона равна по модулю нормальной составляющей силы P1 имеющей величину mg cos <р.
Трение между цилиндром и наклонной плоскостью возникает в точках их соприкосновения. Поскольку эти точки цилиндра в каждый момент времени неподвижны
(они образуют мгновенную ось вращения), сила трения, о которой идет речь, будет силой трения покоя. Как известно из § 19, сила трения покоя может иметь величину в пределах от нуля до максимального значения /о, которое определяется произведением коэффициента трения на силу нормального давления, прижимающую друг к другу соприкасающиеся тела (fo = cos ф). В данном случае сила трения принимает такое значение, чтобы отсутствовало скольжение. Скольжение при качении цилиндра по плоскости будет отсутствовать при условии, что линейная скорость точек соприкосновения будет равна нулю, что в свою очередь выполняется, если скорость центра инерции Vc равна в каждый момент времени угловой скорости вращения цилиндра со, умноженной на радиус цилиндра R:
Соответственно ускорение центра инерции Wc будет равно угловому ускорению р, умноженному на R:
Рис. 111.
Vc = сoR.
(41.6)
wc=$R‘
(41.7)
157
Если необходимая для соблюдения этих условий сила трения /тр не превышает максимального значения fo = kmg cos ф, цилиндр будет скатываться без скольжения. В противном случае скатывание без скольжения невозможно.
При отсутствии скольжения1) уравнение (41.1), спроектированное на направление движения, имеет вид
mwc = mg sin ф — /Хр- (41.8)
В уравнении (41.2), написанном относительно оси цилиндра, будет отличен от нуля только момент силы трения. Остальные силы, в том числе и результирующая сил инерции, имеют направления, проходящие через ось цилиндра, вследствие чего их моменты относительно этой оси равны нулю. Таким образом, уравнение
