Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
H Amiv о+H vo к Дт«гі]+4-2 ®2 AmiR2i •
Вынесем всюду постоянные множители за знак суммы:
Т==І ио S Ami + vo [и> S Дт<гі] + І
') Напомним, что квадрат вектора равен квадрату его модуля: 2 2 vI = 4
J 51
(при преобразовании второго слагаемого в правой части равенства мы воспользовались дистрибутивностью век* торного и скалярного произведений).
Сумма элементарных масс 2 есть масса тела т. Выражение 2 AmlTri равно произведению массы тела на радиус-вектор г'с центра инерции тела в системе К'
[см. формулу (23.1)]. Наконец, 2 AmiRi дает момент инерции Iz тела относительно оси вращения z'. Поэтому можно написать, что
mvl 1,и>2 _
T = - JL + V0 [о, mr'] + -і-.. (40.8)
Это выражение можно упростить, взяв в качестве точки О' центр инерции тела С, т. е. поместив начало
системы координат К' в точку С. В этом случае г' = 0,
так что второе слагаемое исчезает. Поэтому, обозначив через Vc скорость центра инерции, а через Ic— момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку С, получим для кинетической энергии тела формулу:
tTiVr-* // и
r = + (40.9)
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.
§ 41. Применение законов динамики твердого тела
Как было установлено в предыдущих параграфах, движение твердого тела отвечает двум уравнениям [см. (35.5) и (38.5)]:
mwc = 2 it> (41-1)
/P= 2 Mi. (41.2)
Следовательно, движение тела определяется действующими на тело внешними силами f,- и моментами этих
сил Mi. Моменты сил можно брать относительно любой
152
неподвижной или движущейся без ускорения оси (относительно той же оси берется и момент инерции /). Взяв моменты внешних сил относительно оси, движущейся с ускорением, мы, по существу, написали бы уравнение (41.2) в неинерциальной системе отсчета. В этом случае, кроме внешних сил, приложенных к телу, нужно учитывать также силы инерции и их моменты.
Точки приложения сил f,-, действующих на тело, можно переносить вдоль линий их действия, поскольку при этом ни сумма 2 I1, ни моменты Mi не изменяются (при переносе силы вдоль линии ее действия плечо относительно любой точки не изменяется). Осуществляя такой перенос, можно несколько сил заменять одной силой, эквивалентной им в отношении воздействия, оказываемого на движение тела.
Так, например, две силы fi и їг, лежащие в одной плоскости (рис. 108), можно заменить эквивалентной им силой f, точку приложения которой можно также выбирать произвольно на направлении, вдоль которого она действует.
Совокупность действующих на тело параллельных сил можно заменить их равнодействующей, равной сумме ьсех сил и приложенной к такой точке тела, чтобы ее момент был равен сумме моментов отдельных сил.
Найдем равнодействующую сил тяжести. Силы тяжести приложены ко всем элементам твердого тела, причем сила, действующая на элементарную массу Amil равна Anijg. Сумма этих сил равна P = mg. Суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О раізен
M=S [г,, (Aniig)],
где Tj — радиус-вектор, определяющий положение Ami относительно точки О. Перенеся скалярный множитель Ami из второго сомножителя в первый и вынеся общий множитель g за знак суммы, получим:
м -KS A/n,r,)f g].
153
Ho сумма, стоящая в круглых скобках, равна произве* дению массы тела т на радиус-вектор гс центра инерции С. Поэтому
M = [(mrc), g] = [гс, (mg)] = [гс, Р], (41.3)
т. е. суммарный момент сил тяжести относительно любой точки совпадает с моментом силы mg, приложенной к точке С.
Таким образом, равнодействующая сил тяжести рав-на P = mg и приложена к центру инерции тела.
Из (41.3) вытекает, что момент сил тяжести относительно центра инерции равен нулю (в этом случае гс=0). Точка, относительно которой момент сил тяжести равен нулю, называется центром тяжести тела. Как уже отмечалось в § 23, центр тяжести совпадает с центром инерции тела. Правда, это утверждение справедливо только в том случае, когда поле сил тяготения в пределах данного тела можно считать однородным, т. е. когда силы, приложенные к различным элементарным массам, имеют одинаковое направление и пропорциональны массе. Это условие выполняется для тела, размеры которого значительно меньше размеров земного шара. Если размеры сравнимы с размерами Земли, центр тяжести и центр инерции, вообще говоря, не совпадают. Поясним это простым примером. Однородный длинный стержень находится вблизи Земли (рис. 109) е При таком расположении стержня, как на рисунке, силы тяготения, приложенные к различным его элементам, примерно параллельны. Величина же приложенных к равным элементам сил изменяется с расстоянием от Земли по закону 1 Ir2 (г —расстояние элемента от центра Земли). Очевидно, что центр тяжести в этом случае смещен относительно центра инерции к концу стержня, более близкому к Земле.
Таким же свойством, как у сил тяжести (в случае однородного поля сил), обладают силы инерции, вводимые при рассмотрении движения тела в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно относитель-
