Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
За последующий элемент времени dt вектор L получит снова приращение dL, которое будет перпендикулярно к новому (возникшему после «первого» элементарного поворота) значению вектора L, и т. д. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, проходящей через шарнир О, описывая конус с углом раствора, равным 2а. Вектор L при этом будет изменяться только по направлению, по величине он будет постоянным, так как элементарные приращения dL все время будут перпендикулярны к вектору L.
Описанное движение гироскопа называется прецессией и представляет собой движение оси гироскопа под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось описывает конус (в частности, при а = я/2 конус вырождается в плоскость).
Вектор L при прецессии ведет себя подобно вектору скорости при равномерном движении по окружное™. В последнем случае элементарное приращение скорости dv все время перпендикулярно к вектору V и равно w dt, где Jwj постоянен. В случае гироскопа dL перпендикулярно к вектору L и равно IWdt, где jM| постоянен.
Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, называется скоростью прецессии. Угловая скорость прецессии, очевидно, равна
где d<p — угол, на который повернется указанная плоскость за время dt. Этот угол может быть представлен как отношение |с?Ц к Lsina (см. рис. 123, начало вектора L предполагается совмещенным с шарниром О):
= (44.3)
sin a 4
172
В соответствии с (44.2) и (44.1)
\dL\ = Mdt = mgl sin a dt.
Подставляя в (44.3) это выражение и заменяя L через /со, получим:
rf<р =
mgl sin a dt mgl
/ш sin а /и
dt.
Отсюда угловая скорость прецессии
Up mgl
CO
dt
I CO
(44.4)
Cl)» W'
Из (44.4) следует, что скорость прецессии не зависит от угла наклона оси гироскопа по отношению к гори* зонту.
Поскольку момент импульса /со обычно велик, скорость прецессии о/ бывает мала, причем Co' тем меньше, чем больше О).
С уменьшением угловой скорости вращения гироскопа со скорость прецессии со' возрастает.
Следует иметь в виду, что в случае прецессии момент импульса гироскопа не совпадает с его осью симметрии, так как движе* ние гироскопа представляет собой сумму двух вращений — вращения вокруг оси симметрии с угловой скоростью са и вращения вокруг вертикальной оси с угловой скоростью прецессии со'. Результирующая угловая скорость будет равна со + со' (рис. 124). Однако, поскольку со' <С со, можно приближенно считать, что со + со' ~ о) и L = /со. При выводе формулы (44.4) для угловой скорости прецессии мы пользовались этим приближением.
§ 45. Деформации твердого тела
Как уже отмечалось, под действием сил происходит -деформация тел, т. е. изменение их размеров и формы. Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, тело принимает первоначальные размеры и
173
форму, деформация называется упругой. Мы ограничимся кратким рассмотрением основных упругих деформаций.
Упругие деформации происходят в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела тело получает остаточные или пластические деформации, сохраняющиеся и после прекращения действия силы на тело.
Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Продольное растяжение (или одностороннее сжатие). Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы
f,
't-
рис. 125.
fj и f2 (/i = f2 = /), действие которых равномерно рас* пределено по всему сечению, то длина стержня I получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение Al (рнс. 125). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня 61 получает приращение Д(6/), пропорциональное его дли-
A (60
не, так что для всех элементов стержня отношение —^— оказывается одним ч тем же. Естественно поэтому в ка-
честве величины, характеризующей деформацию стерж-ня, взять относительное изменение его длины:
M
(45.1)
Как следует из его определения, относительное удлинение е является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия — отрицательно.
Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
Коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом упругости. Он зависит только от свойс-тв материала стержня.
Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую сила действует, называется н а-пряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела — весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на ко-» торую она действует, напряжение называется танген" ци а льны м. Нормальное напряжение принято обозна» чать буквой а, тангенциальное — буквой т.
