Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Савельев И.В. -> "Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика" -> 42

Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.

Савельев И.В. Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика — М.: Наука, 1970. — 508 c.
Скачать (прямая ссылка): kursobsheyfizikit11970.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 150 >> Следующая


143
Согласно (39.2) элементарная масса Ami равна произведению плотности тела р, в данной точке на соответствующий элементарный объем AVi:

Ami = Pi AVi.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

/«2 P/5 AF1. (39.3)

[мы заменили Ri в формуле (38.2) на г,].

Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

/ = P Ir2iAVi. (39.4)

Соотношения (39.3) и (39.4) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы AVi и соответствующие им элементарные массы Ami. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к инте-O' 0 грированию:

I /= J г2 dm = J рг2dV. (39.5)

Интегралы в (39.5) берутся по всему объему тела. Величины р и г в этих интегралах являются функциями точки, т. е., например, декартовых координат х, у и z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной К ПЛОСКОСТИ диска и проходящей через его центр (рис. 102). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом рас* стоянии от оси, равном г. Объем такого слоя равен

dV = Ь2пг dr, где b — толщина диска.

Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и р в (39.5) можно вынести за знак интеграла:

/=р J r2CfF = P J r'2b2nrdr,

144
где R— радиус диска. Вынесем за знак интеграла постоянный множитель 2пЬ:

I=2nbp J r3dr = 2nbp~~.

о

Наконец, введя массу диска т, равную произведению плотности р на объем диска bnR2, получим:

Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, в момент инерции мы искали относительно оси симметрии. Если бы мы захотели найти момент инерции диска относительно, например, оси О'О', перпендикулярной к диску и проходящей через его край (см. рис. 102), вычисления, очевидно, оказались бы гораздо более сложными. В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной OCU равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси О'О' равен найденному нами моменту инерции (39.6) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс rriR2 (расстояние между осями О'О' и OO равно радиусу диска R):

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

, rriR*

1 2 '

(39.6)

I = I0+ та2.

(39.7)

Ю И. В. Савельев, т. I

145
Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим тело произвольной формы (рис. 103). Возьмем две параллельные друг другу оси OO и О'О', из которых одна (ось 00) проходит через центр инерцин тела. Свяжем с этими осями координатные оси xyz и x'y'z', которые

выберем так, чтобы ось z совпадала с осью 00, а ось г' — с осью О'О' (на рис. 103 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа). Кроме того, оси х и х' выберем так, чтобы они совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы Д/71,- будут иметь место следующие соотношения:

х'= а+ Xi-, Vrl^yl,

где а — расстояние между осями.

Квадрат расстояния Ami от оси OO равен

г* = + ft (39.8)

квадрат же расстояния от оси О'О' равен

rf “ х? + У'і = (xI + aT + У\‘ (39-9)

С учетом (39.8) момент инерции тела относительно оси OO определяется выражением

/0“ S r\ Ami = S (X2i + г^) Aml, (39.10)

а момент инерции относительно оси О'О' [с учетом

(39.9)] будет равен

I = S rf Ami = S [(« + *if + Уг] AffV (39-11)

146
Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, и сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (39.11) можно при* вести к следующему виду:

I— S (х2 + у?) Ami + a2 S Ami + 2а S Xi Ami. (39.12)

Первая из сумм (39.12) тождественна с (39.10), т. е. представляет собой I0, вторая сумма дает та®; третья же сумма, как легко видеть, равна нулю. В самом деле, поскольку ось 2 проходит через центр инерции тела, координата хс центра инерции равна нулю. Вместе с тем

по определению хс—~ 2 Xl Ami, откуда следует, что

S X1 Aml равна нулю. о

Таким образом, выраже- I

ние (39.12) принимает вид ________________I__________ J_

I = I0 + та2, ^-------1—І----------Т*

что и требовалось доказать \

[см. (39.7)].

В заключение приведем Рис- 104-

значения моментов инерции

для некоторых тел (тела предполагаются однородными, т— масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный попереч-ный размер стержня b во много раз меньше длины

Рис. 106.

стержня I (6<С/). Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 104), равен
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed