Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Энергия упругой деформации. Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над внешними телами, т. е. обладает некоторым запасом'энергии 1J. Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.
Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо ден-ствовать силой, величина которой определяется выражением (45.6). Работа этой силы равна
Al
А — J f dx,
с
где буквой X обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до Al.
Сила f, соответствующая удлинению х, согласно
(45.6) равна
f и ES I = IlX = -J- X.
Следовательно,
Al
, Г ES , ES M2 ll2. А = J ~rxdx = ~r-2-=lJ^-
C
Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на /, заменяя затем отношение А1/1 относительным удлинением е и учитывая, наконец, что SI дает объем стержня V, получим:
u = HTf- <4514)
') Cm. (27.13) и соответствующий текст.
s)' Приравняв найденную работу потенциальной энергии, мы положили энергию недеформированного тела равной нулю.
12*
179
Введем в рассмотрение плотность энергии и, которую определим как отношение энергии At/ к тому объему AV, в котором она заключена:
AU и AV •
Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация является равномерной, т. е. одинаковой в раз-ных точках стержня, энергия (45.14) распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно считать:
«=-рг = —2~. (4b.lb)
Выражение (45.15) дает плотность энергии упругой деформации, при растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна
H = (45.16)
ГЛАВА VI
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
§ 46. Закон всемирного тяготения
Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Ї = Y
ITtitns
(46.1)
где Y — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила
вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 128). Формула (46.1) дает численное значение равных по величине сил f 12 и їгі-
Тела, о которых идет речь в соотношении (46.1), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для
Определения СИЛЫ ВЗаИМОДеЙСТВИЯ ТЄЛ, КОТОрые НЄ MO’ гут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные массы Am, т. е. небольшие
181
объемы, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 129). Согласно (46.1) t-я элементарная масса тела 1 притягивается к /г-й элементарной массе тела 2 с силон
Am.Am,
Afik = Y —lTjl гik ед, (46.2)
rIh
где гjft сд — единичный вектор, имеющий направление от AIni к Amft, a rih—расстояние между этими элементарными массами.
Просуммировав (46.2) по всем значениям k, получим результирующую всех сил, действующих CO стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Ami:
Vl Д'И, А т.
Af/2 = Zj Y —1Tjl fIk ед- (46.3)
ik
Наконец, просуммировав (46.3) по всем значениям индекса Ї, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:
Vi Vl Am, Amh , „ ,
f'2 = Zl -J Y --Т* W (46'4)
і k
Суммирование производится по всем значениям индексов і и k. Следовательно, если тело 1 разбить на Nx,
а тело 2 — на W2 элементарных масс, то сумма (46.4)
будет содержать NiNi слагаемых.
По третьему закону Ньютона гело 1 действует на тело 2 с силой f2i, которая равна —fi2.
Практически суммирование (46.4) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары1), то вычисление согласно (46.4) приводит к следующему результату:
f 12 = Y--^r12 ел. (46.5)
’) Достаточно, чтобы распределение массы в пределах каждого шара обладало центральной симметрией, т. е. чтобы плотность была функцией только расстояния от центра шара.
182
где гп\ и m2—массы шаров, г — расстояние между их центрами, г 12сд — единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго. Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.
Если одно из тел представляет собой шар очень большого радиуса R (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие R, и находится вблизи поверхности шара, то их взаимодействие описывается формулой (46.5), где вместо г нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с R).
