Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
точках этого сечения. За время At через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от 5 в начальный момент не превышает значения v At. Следовательно, за время At через сечение S пройдет объем жидкости, равный SvAt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т. о. плотность ее всюду одинакова и изменяться не
Рис. 142.
Рнс. 143.
201
может), то количество жидкости между сечениями Si и S2 (рис. 143) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения Si и S2, должны быть одинаковы:
S1C1I =
(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят).
Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений Si и S2. Следовательно, для несжимаемой жидкости величина Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:
Sy = Const. (54.1)
Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.
Из (54.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (рис. 144) это ускорение можег быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот. Количественная связь между скоростью течения и давлением будет установлена в следующем параграфе.
Рис. 144. Теорема о неразрывно-
сти струи применима к реальным жидкостям и даже к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газоп со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми.
§ 55. Уравнение Бернулли
Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость, в которой внутреннее
202
трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис. 145). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время At этот объем переместится вдоль трубки тока, причем сечение S1 переместится В положение Si, пройдя путь Alu сечение S2 переместится в положение S2, пройдя путь ДI2. В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: Д V1 = AV2 =
= AV.
Энергия каждой частицы жидкости складывается -из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время At в любой из точек незаштри-хованной части рассматриваемого объема (см., например, точку О на рис. 145), имеет такую же скорость (а следовательно, и кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии AE всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемчиков AV2 и AVi.
Возьмем сечение трубки тока и отрезки Al настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемчиков можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты Н. Тогда приращение энергии запишется следующим образом:
AE = (іЩІ. + р AVghl) - + р AVgh) (55.1)
(р— плотность жидкости).
I
Рис. 145.
203
В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (55.1) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы ие совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям Si и S2. Эта работа равна
А = PiSi Д/1 P2S2 AZ2 — (р і р2) . (55.2)
Приравнивая выражения (55.1) и (55.2), сокращая на Al/ и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:
2 2 OV7
-у- + pgA, + Pi = -J- + Pgh2 + P2. (55.3)
Сечения Si и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в любом сечении
трубки тока выражение -Щ- + рgh + р имеет одинаковое значение. В соответствии со сделанными нами при его выводе предположениями уравнение (55.3) становится вполне точным лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Таким образом, величины р, v и h, фигурирующие в левой и правой частях уравнения (55.3), следует рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.
Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие
Р^2
2" + Pgh + P = const. (55.4)
Уравнение (55.4) или равнозначное ему уравнение
(55.3) называется уравнением Бернулли. Несмотря на то, что это уравнение было получено нами для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико.
