Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из рис. 264 видно, что в случае, когда молекула начинает свое движение из бесконечности с большим запасом энергии Є2, минимальное расстояние d2, на которое сближаются центры молекул, оказывается меньшим. Таким образом, эффективный диаметр молекул зависит от их средней энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул d уменьшается, вследствие чего средняя длина свободного пробега К растет [см. (111.7)].
Характер взаимодействия между молекулами, предполагавшийся при выводе уравнения состояния идеального газа, соответствует потенциальной кривой, изображенной на рис. 265. На расстояниях, превышающих г0, ер постоянна, вследствие чего сила равна нулю. При г = r0 Ep обращается в бесконечность, образуя потенциальный барьер, препятствующий сближению центров
402
молекул на расстояния, меньшие /о- Такое упрощенное рассмотрение допустимо, если средние расстояния между молекулами в газе достаточно велики: при больших г кривая ер на рис. 264 идет очень полого, вследствие
0. По мере же уменьшения среднего расстоя-
чего
дер
Sr
Єр=Єр(г>
ния между молекулами, т. е. при увеличении плотности газа, роль сил притяжения между Ся молекулами все больше растет. Одновременно, как мы видели выше, сокращается та часть занимаемого газом объема, в пределах которой может происходить движение молекул.
Из всего сказанного вытекает, что уравнение, правильно описывающее поведение газов при больших плотностях, должно учитывать, во-первых, взаимное притяжение молекул друг к другу и, во-вторых, конечную величину собственного объема молекул.
Рис. 265.
§ 118. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Из большого числа уравнений, предложенных для описания поведения реальных газов, самым простым и вместе с тем дающим достаточно хорошие результаты оказалось уравнение Ван-дер-Ваальса. Это уравнение получено путем внесения поправок в уравнение /?VKM —-= RT и имеет следующий вид:
(р + -рг-)(У™-Ь) = ЯГ, (118.1)
где р — давление, оказываемое на газ извне (равное давлению газа на стенки сосуда), а и b — константы Ван-дер-Ваальса, имеющие для разных газов различные значения, определяемые опытным путем. Если давление выражено в ньютонах на квадратный метр, а объем—* в кубических метрах на киломоль, то константа а имеет размерность н • м4/кмоль2, а константа b — м3/кмоль. Иногда- константу а выражают в ат - л21 моль2, а константу b — в л/моль.
26*
403
Константа b определяет ту часть объема, которая недоступна для движения молекул вследствие их конечных размеров. Эта констаига равна учетверенному объему молекул, чго вытекает из следующих соображений. Пусть в сосуде имеется лишь две молекулы. Центр любой из этих молекул не может приблизиться к центру другой молекулы на расстояние, меньшее ґ' диаметра молекулы d (рис. 266). Таким
образом, для центров обеих молекул оказывается недоступным сферический объем радиуса d, т. е. объем, равный восьми объемам молекулы. В расчете на Рис. 266. одну молекулу недоступным оказывается
объем, равный учетверенному объему молекулы. Поскольку молекулы, как правило, сталкиваются попарно (вероятность столкновений трех н бо- ' лее молекул крайне мала), приведенное рассуждение справедливо для любой пары молекул. Отсюда следует, что в расчете на каждую из молекул газа недо-« ступным будет объем, равный четырем объемам одной молекулы, а для всех молекул — объем, равный учетверенному суммарному объему молекул.
Поправка a/V2KM дает внутреннее давление Pi, обусловленное взаимным притяжением молекул друг к другу. Если бы взаимодействие между молекулами вдруг прекратилось, то для того, чтобы удержать газ в пределах того же объема, понадобилось бы увеличить внешнее давление на величину, равную внутреннему давлению Pt- Обратная пропорциональность pi квадрату объема объясняется следующими причинами. Вследствие быстрого убывания сил притяжения между молекулами с увеличением расстояния между ними, начиная с некоторого расстояния г, взаимодействием между молекулами можно вполне пренебречь. Расстояние г называется радиусом молекулярного действия. Сферу радиуса г называют сферой молекулярного действия. Проведем мысленно плоскость в газе (рис. 267) и попытаемся оценить силу, с которой притягивают друг друга части газа, лежащие по обе стороны от этой плоскости. Отпе-404
I
к' і
I о I
К________
I------.
I ' I
I °
I
К----->
Рис. 267.
ся эту силу к единице поверхности, мы получим внутреннее давление.
Каждая из молекул, находящихся слева от воображаемой плоскости, испытывает притяжение со стороны тех молекул, находящихся справа от плоскости, которые попадают в пределы выступающей за плоскость части сферы молекулярного действия, описанной вокруг данной молекулы (эти молекулы обозначены на рис. 267 крестиками). Число таких молекул, а следовательно, и сила, действующая на каждую из молекул, лежащих слева от плоскости,, пропорциональны числу молекул в единице объема п. Притяжение со стороны молекул, находящихся справа от плоскости, испытывают только те молекулы, находящиеся слева от плоскости, которые попадают в слон толщины г. Число этих молекул также пропорционально п. Таким образом, сила, с которой одна часть газа притягивает другую, а следовательно, и внутреннее давление оказываются пропорциональными п2. Поскольку п обратно пропорционально объему газа, внутреннее давление будет обратно пропорционально квадрату объема.
