Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
(113.3)
25 В. Савельев, т. I
385
Каждая молекула несет с собой энергию, соответствующую температуре в том месте, где произошло последнее соударение ее с другой молекулой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега к. Поэтому молекулам, летящим слева направо, следует приписывать энергию єь отвечающую температуре Ti в плоскости (2 — К), молекулам же, л_етящим в противоположном направлении,— энергию Є2, отвечающую температуре Ti в плоскости (2 H- %).
Величины пи?; зависят от температуры. В связи с этим, казалось бы, следовало для нахождения числа молекул, летящих через площадку S слева направо, под* ставлять в формулу (113.3) значения п и v, отвечающие температуре Tu а для нахождения числа молекул, лег тящих справа налево, — значения п и v, отвечающие температуре T2- Однако легко сообразить, что числа частиц, летящих через площадку S во встречных направлениях, не могут быть различными. Если бы они ока* зались неодинаковыми, то кроме потока тепла через площадку S наблюдался бы поток вещества — происходило бы перемещение газа из одной части пространства в другую. Мы же предполагаем, что движение газа, как целого, отсутствует.
Число молекул, пролетающих через S в каждом из направлений, найдем по формуле (113.3), приняв для п и г; их значения в сечении S. Тогда количество энергии, переносимое молекулами за секунду через площадку S в положительном направлении оси z, можно записать следующим образом:
= ^nvS Jk(T1-T2). (113.4)
В силу малости X можно считать, что
T1-T-§Я, 7W + -fl,
где T — температура в том месте, где расположена площадка 5, -J-- производная Г по г в том же месте.
386
Подставив эти значения в формулу (113.4), получим: q=-±nvS±k^2h.
Умножим и разделим это выражение на массу молекулы т и на число Авогадро N&:
1 _о і HNk dT q -jrtnnvS jdz
Далее, учитывая, что тп = р, а
і kNк 1 і ^ I
Iilntrk** IT T ^ = cV = cV
(Cv'—удельная теплоемкость при постоянном объеме), можно написать:
Q = - (ip5Xc,/)“-S. (113.5)
Сопоставление (113.5) с (113.1) дает для коэффициента теплопроводности газов следующее выражение:
и = -|-р VrKcv. (113.6)
Сравнив формулу (112.6) для г] с формулой (113.6)
для х, замечаем, что
а = цсу. (113.7)
Более строгий расчет приводит к следующему соотношению между к и rj:
к = Kr\cv,
где К — числовой коэффициент, определямый формулой
&У-5
к-
4
Таким образом, для одноатомных газов (у = CP/CV=‘ «=5/3) коэффициент К = 2,5, для двухатомных газов (у = 7/5) К = 1,9 и т. д.
Выясним зависимость у. от величин, характеризующих молекулу, и от параметров газа. Поскольку у. ~ r\cv, для этого достаточно умножить (112.7) на величины, входящие в выражение для Cv:
1 „ 1 і п і
В результате получается
(113.8)
а у т
Эта зависимость отличается от зависимости (112.7) для »] тем, что и обратно пропорционален Vm, в то время как і] прямо пропорционален \ т. Кроме того, я зависит от числа и характера степеней свободы молекулы (от <шсла і). Зависимость от давления и температуры у х такая же, как и у г]. Следовательно, коэффициент теплопроводности не зависит от давления (до тех пор, пока X не становится того же порядка, что и линейный размер сосуда, вдоль которого передается тепло) и возрастает с температурой несколько быстрее, чем \ГТ.
§ 114. Диффузия в газах
Рассмотрим газовую смесь, состоящую из нескольких компонент, т. е. из молекул нескольких сортов. Число молекул г-й компоненты в единице объема обозначим Пі. Полное число молекул в единице объема будет равно
я = 2 «г*
Относительной концентрацией і-й компоненты в смеси называется безразмерная величина
Очевидно, что сумма относительных концентраций всех компонент равна единице:
Абсолютной концентрацией какой-либо компоненты называется масса молекул данного сорта, содержащаяся в единице объема. Определенная таким образом концентрация представляет собой парциальную плотность данной компоненты. ЕсЛи масса молекулы J-й компоненты т;,” то абсолютная концентрация будет равна
388
Ci = Hitnl.
Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных компонент и определяется полным числом молекул в единице объема:
= = 2 nikT ”= nkT.
Может случиться, что концентрация газовых компонент в различных точках пространства будет неодинакова. В этом случае вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы і-н компоненты в направлении убывания ее концентрации. Этот процесс носит название д и ф ф у з и и.
Полное число молекул, а следовательно, и давление в процессе диффузии не изменяются. Происходит лишь перераспределение молекул разных сортов, т. е. изменение величин Hi, причем таким образом, что возрастание в каком-то месте nt для одной из компонент сопровождается одновременным изменением Пі для других компонент, так что сумма Ui остается постоянной.
В дальнейшем в этом параграфе будет идти речь о двухкомпонентных газовых смесях.
