Курс общей физики Том 1 Механика, колебания и волны, молекулярная физика - Савельев И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что в некотором объеме каким-то образом поддерживается не изменяющийся CO временем градиент концентраций обеих компонент вдоль направления г (рис. 256, на котором вместо абсолютных концентраций изображены пропорциональные им числа молекул в единице объема). Давление во всем объеме одинаково. Следовательно, сумма пх + п2 в каждом сечении будет одна и та же. В этом случае через перпендикулярную к г площадку S устанавливается преимущественный ноток молекул первого copra в направлении слева направо, который можно охарактеризовать величиной массы Mb переносимой через 5 за одну секунду. Опыт дает, что эта величина определяется следующим
ЗЬ9
п
(с)
выражением:
Mi = — D-—-S, (114.1)
где D — коэффициент пропорциональности, называемый
dc
коэффициентом диффузии, -——градиент абсолютной концентрации в том сечении, где мы мысленно расположили площадку S.
Масса, переносимая через площадку S за время t, очевидно, равна
MJ=-D-^St. (114.2)
Одновременно будет существовать встречный поток молекул второго сорта, определяемый аналогичным выражением
M2=-D 4г-5.
* dz
Уравнение (114.1) представляет собой эмпирическое уравнение диффузии. Знак «—» показывает, что масса переносится в направлении убывания концентрации дайной компоненты.
Попытаемся получить уравнение диффузии, основываясь на молекулярно-кинетических представлениях, причем для упрощения расчетов мы будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе (ті » /П2 ~ т) и имеют практически одинаковые эффективные сечения (аі лг 02 ~а). В этом случае молекулам обеих компонент можно приписывать одинаковую среднюю скорость теплового движения V, а среднюю длину свободного пробега вычислять по формуле
K = -jJ—,
V 2 ап
где п = щ + п2.
Пусть изменение концентрации первой компоненты вдоль оси г дается функцией C1 = Cifz). Каждая молекула, пролетающая через площадку S, переносит присущую ей массу т (напомним, что Zn1 ^ т). Обозначим количество молекул первой компоненты, пролетающих за секунду через S в направлении оси z, через Ni, тоже число для направления, противоположного г, — через Ni. 390
Тогда масса первой компоненты, переносимая за секунду в направлении z, может быть представлена в виде
Mi = {N[-N?) т. (114-3)
Как и в предыдущих случаях (см. § 112 и 113), можно считать, что пересекающие площадку S молекулы прилетают из сечений, отстоящих от 5 на среднюю длину свободного пробега. Тогда количество молекул, пролетающих через S в направлении оси z, будет определяться значением числа молекул в единице объема п', отвечающим сечению с координатой z — Л, а количество молекул, летящих в противоположном направлении, — значением п", отвечающим сечению с координатой
z + X. Таким образом, числа Ni и Ni определяются выражением
Nl=-QnlXiS,
где для n'i должно быть взято число п'і = пі (z — К), а для Ni — число п'( = /г, (г + Л). Подставляя значения N\ и N" в (114.3), получаем:
Mi = -}vS^2Km.
Поскольку т — постоянная величина, выражение
dti\ d (тп\)
tn-^T можно записать в виде —^—, что представляет
dc
собой градиент концентрации Тогда
Сопоставляя (114.4) с (114.1), получаем газокинетическое выражение для коэффициента диффузии:
D = ^vK. (114.5)
Из (114.5) вытекает что размерность D равна м21сек.
Проведенные нами рассуждения в равной мере при* менимы к обеим компонентам смеси. Следовательно, коэффициент диффузии для обеих компонент имеет одинаковое значение.
391
Сравнивая (114.5) с (112.6), получаем следующую связь между г] н D:
•ц = PD.
Подставив в (114.5) выражение для гТ и К, можно получить, что
D-------1у=гУ7.
па у т
В отличие от Ti и х коэффициент диффузии оказывается обратно пропорциональным числу молекул в единице объема, а следовательно, и давлению р:
Зависимость от температуры у D такая же, как у rj
И V-
Так как мы полагали молекулы обеих компонент одинаковыми по массе и эффективному сечению, (114.5) представляет собой, по существу, выражение для коэффициента самодиффузии, т. е. диффузии молекул некоторого газа в среде молекул того же газа. Явление са-моднффузии можно было бы наблюдать, пометив каким-то способом часть молекул однородного газа. Тогда в случае, если бы концентрация меченых молекул и молекул, не несущих отметки, была непостоянна, в газе возникли бы встречные потоки разного рода молекул, причем величина потоков определялась бы формулой
(114.4). Практически самодиффузию можно исследовать, применив метод меченых атомов. Этот метод состоит в использовании смеси изотопов, т. е. разновидностей атомов одного и того же элемента, отличающихся»' друг 'от друга, например, тем, что одна разновидность атомов радиоактивна, а другая — стабильна.
Для смеси молекул различной массы и сечения соответствующий расчет дает следующее выражение коэффициента диффузии:
* т df2n
где В — числовой коэффициент, т' = — так называемая приведенная масса молекул и dl2 = —1 —
полусумма эффективных диаметров.
392
§ 115. Ультраразреженные газы