Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Геоцентрическая гравитационная постоянная
В последнее время в связи с запуском искусственных спутников Земли большое значение приобрела геоцентрическая гравитационная постоянная, которая равна произведению массы Земли М& на кавендиша гравитационную постоянную /. Это произведение fM@ выражается в мет-
§ 3) геоцентрическая гравитационная ПОСТОЯННАЯ 23
рической системе единиц. Геоцентрическая гравитационная постоянная может быть определена различными методами. Сначала изложим способ ее определения по гравиметрическим и геодезическим измерениям.
Пусть W означает потенциал силы тяжести, который складывается из потенциала притяжения Земли
и-ф
о
и потенциала центробежной силы, возникающей вследствие суточного вращения Земли
V — “2/?2
2 ’
где ?2 — объем Земли, dm — элемент массы Земли, г — расстояние от элемента массы Земли до рассматриваемой точки* Д — расстояние этой точки от оси суточного вращения Земли, со — угловая скорость вращения Земли.
Применяя формулу Остроградского — Грина к потенциалу силы тяжести W, имеем
!^дша = Р>, (9)
где п — внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей объем Земли Q. Подставляем в левую часть равенства (9) потенциал силы тяжести, равный W = U + V. Потенциал притяжения U внутри притягивающих масс удовлетворяет уравнению Пуассона
Af/ = — 4 я/<з,
где о — плотность.
Для потенциала центробежной силы справедливо соотношение AF = 2(о2. Имея в виду, что
jjjjj AWdQ = — 4я/М© + 2 W2Q,
Q
где Af © — масса Земли, можно написать следующее уравнение для геоцентрической гравитационной постоянной
о)2 Q I WdW
24
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
В правой части под знаком интеграла стоит производная потенциала силы тяжести W по нормали к поверхности S.
Если поверхность интегрирования — физическая поверхность Земли S, то необходимо иметь в каждой точке ее поверхности значение производной по нормали dWjdn. Однако сила тяжести, измеренная маятниковыми приборами и гравиметрами, направлена по нормали не к физической поверхности, а к уровенной поверхности потенциала ускорения силы тяжести Земли. Уровенньге же поверхности для различных точек физической поверхности Земли, в которых производятся измерения силы тяжести, могут быть различными. Для интегрирования значений производных по нормали потенциала силы тяжести необходимо иметь их значения, приведенные к одной и той же уровенной поверхности.
Поскольку уровенные поверхности потенциала силы тяжести Земли близки к эллипсоиду (например, отклонение геоида от эллипсоида составляет около сотни метров), то с достаточной точностью можно при определении геоцентрической постоянной fM@ заменить неправильную уровенную поверхность эллипсоидом и производить интегрирование значений силы тяжести по его поверхности. Вместо фактических значений силы тяжести будем теперь использовать их значения, представляемые формулами нормального распределения силы тяжести по поверхности эллипсоидальной Земли.
Итак, примем Землю за эллипсоид вращения. Пусть (ф, X) —геодезические координаты точек земной поверхности, е — эксцентриситет сечения Земли вдоль меридиана, а — большая полуось Земли. Прямоугольные координаты точек поверхности эллипсоида можно представить в виде
a cos ф cos X a cos ф sin X
Х У1 — е2віп2ф ’ ^ УI — е2 sin2 ф ’
ь VT — е2 sin ф Z УI —S2Sin2 ф
Элемент поверхности эллипсоида вращения в переменных
§ 3] ГЕОЦЕНТРИЧЕСКАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ
25
ф, А запишется так:
*= +(?)1+? уш+ш+(Si
_ а2 (1-е2) COS ф Лр (? .. ,.
(1 — е2 Sin2 ф)3 ' '
Ua эллипсоиде вращения сила тяжести у не зависит от долготы X, а зависит только от широты ср. Согласно формуле Клеро
T = Те(1 + Pisin2tp-f P2 sin2 2ф), (12)
где уе, P1, P2 — некоторые постоянные, определяемые из совокупности измеренных значений силы тяжести по всей земной поверхности.
Используя равенства (11) и (12) и подразумевая под поверхностью S поверхность эллипсоида, можно записать следующее выражение для интеграла в равенстве (10):
Tt
-№е?*-2$т'<‘ + Р. ЧН-Р. »іл« 2т)
S оо
Поскольку в подынтегральном выражении постоянные имеют следующий порядок: е2 ^ 0,007, (J1 ^ 0,005,
P2 ж 0,000006, то можно подынтегральную функцию разложить в ряд по степеням этих малых параметров. Ограничиваясь после интегрирования слагаемыми, порядок малости которых более 10~в, будем иметь
-gf =far,.- [I + .%-¦¦*-+%-“+«а ]¦ ,із) в
Подставляя найденное равенство (13) в уравнение (10), получим
fM@ = Ti«. [1 + %.
Так как объем эллипсоида вращения Q =^na3IzrI —е2,
то окончательное равенство для определения /М@ перепишется так:
26
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Приведенные формулы получены в соответствии с работой А. Я. Орлова [21], с тем отличием, что нами учтены члены более высокого порядка малости.
Таким образом, для определения геоцентрической гравитационной постоянной /М© по геодезическим и гравиметрическим измерениям из первых должна быть определена большая полуось а земного эллипсоида, а ие вторых — значение экваториальной силы тяжести уе и коэффициенты формулы Клеро P1 и ра- По совокупности же геодезических и гравиметрических данных определяется эксцентриситет е. Астрономические наблюдения позволяют измерить угловую скорость (О суточного вращения Земли (со2 = 0,5317494-IO"8 сек~2).
