Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
где G — модуль сдвига материала нити, I — ее длина, d — диаметр.
Чтобы увеличить чувствительность крутильных весов, необходимо уменьшить величину постоянной т. Как показывает формула (17), постоянная т быстро убывает с уменьшением диаметра нити. Однако уменьшение толщины нити, на которой висит коромысло с притягиваемыми массами, ограничено ее прочностью на разрыв. Уменьшение же веса притягиваемых масс крутильной системы невыгодно, ибо уменьшает силу взаимного притяжения между взаимодействующими массами.
Если к притягиваемым массам поднести сбоку притягивающие, то под действием притяжения коромысло весов повернется на некоторый угол <р. Вместе с коромыслом на угол <р закрутится и нижний конец нити. Величина этого угла закручивания зависит от постоянной т и момента
ИДЙЯ И ОСНОВЫ ТЕОРИЙ
43
Жпр силы взаимного притяжения притягивающихся масс в плоскости колебаний крутильной системы. Крутильная система, выведенная из положения равновесия относительно оси нити и предоставленная самой себе, будет совершать крутильные колебания относительно этой оси, период которых также зависит от т и ЗКПр.
Запишем дифференциальное уравнение крутильных колебаний крутильной системы
J § + ®пр (Ф) + (Ф) + (ф) = 0, (18)
где J — момент инерции крутильной системы относительно оси нити, ЗКпр (ф) — момент сил притяжения между массами крутильной системы и притягивающими массами, ®п°р (ф) — момент сил притяжения между массами крутильной системы и окружающими прибор массами (стенами, столбами и т. д.). Положение этих притягивающих масс в процессе опыта считается неизменным.
Постоянная тяготения / входит множителем в выражения ЗКпр (ф) и SRn0p (ф). Конкретный вид функций SRlip (ф) и ЗВпр (ф) зависит от параметров, характеризующих форму и положение взаимодействующих масс, которые предполагаются известными. В предположении, что при закручивании нити выполняется закон Гука, момент упругих сил закрученной нити равен
SRt (ф) = т(ф — ф0),
где (ф — ф0) — угол отклонения коромысла относительно равновесного положения. При произвольной форме и плотности взаимодействующих масс моменты ЗКпр (ф) и ®пр (ф) являются нелинейной функцией угла ф. Поэтому колебания крутильной системы описываются нелинейным дифференциальным уравнением. Впрочем, уравнение оставалось бы нелинейным и в случае взаимодействия точечных масс. Для понимания идеи способа определения постоянной тяготения с помощью вертикальных крутильных весов мы изложим упрощенную теорию, основывающуюся на линейном дифференциальном уравнении. Точная теория рассмотрена в последней главе.
44
КРУТИЛЬНЫЕ ВЕСЫ
[ГЛ. и
Представим момент сил притяжения SRnp (ф) в виде разложения в ряд по степеням угла ф:
SRnp (ф) = ®пр (0) + Фягпр (0) +? ®г;р (О) +...
Аналогично можно представить и SRnp (ф). Ограничившись первыми двумя членами разложения, перепишем уравнение (18) в виде
сРф
dp
гс2ф+С = 0, (19)
где
. 5Ш„Р (0) + 2R„p (0) + т Г2 ----------------------j-------------
iO'
(20)
С = ЗДпр(0) + »?р (0) — Тфр _ (21)
Здесь п обозначает частоту, a T — период собственных крутильных колебаний. Решение уравнения (19) состоит из двух частей, постоянной и периодической, описывающей изменение угла ф в функции времени і:
Q
Ф =------— + С} sin nt + C2 cos nt,
где C1 и C2 — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.
Постоянная тяготения может быть определена как из постоянной части решения
С
V1 - — Ifi >
так и из переменной
ф2 = СI sin nt -t~ C2 COS nt.
При использовании постоянной части решения фх метод определения постоянной тяготения будем называть статическим, а в случае использования переменной ф2 — динамическим.
Оба эти способа применялись на практике.
При статическом способе измеряют величину угла фь на который отклоняется крутильная система от равновес-
ИДЕЯ И ОСНОВЫ ТЕОРИИ
45
ного положения под действием сил притяжения. Обычно добиваются двойного угла отклонения крутильной системы, помещая притягивающие массы сначала с одной стороны притягиваемых масс, а затем с другой. Этим исключается SKnp(O) — момент сил, обусловленный притяжением внешних масс (стен, столбов и пр.), положение которых в процессе опыта можно считать неизменным. Исчезнет также в этом случае другая постоянная тф0, входящая в правую часть выражения для С (21). Обозначив разность углов отклонения коромысла весов при положении притягивающих масс с одной и другой стороны коромысла через Д<р, а моменты сил притяжения соответственно SRnp(O) и SRjp(O), получим
Jn2Дф = ®?р (0) + Жпр (0).
Отсюда, имея в виду, что
STCnp (0) = /Жпр(0) И SRj1P(O) = Z^1p(O),
определяют постоянную тяготения
, Jni Дф
^np (0)+? (0) " (22)
Момент инерции J находят по геометрическим размерам и плотности масс крутильной системы, SRnp (0) и SRnp (0) вычисляется по геометрическим размерам, относительному положению крутильной системы и притягивающих масс и их плотности. Угол Дф измеряется в процессе наблюдений, из наблюдений же определяется и частота п крутильных колебаний коромысла с притягиваемыми массами. Последняя используется для вычисления упругой постоянной нити, которую нельзя надежно вычислить по формуле (17).
