Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
Один подход к определению постоянной тяготения состоит в том, что опытным путем устанавливается соотношение между силой взаимного притяжения и величинами измеренных масс, расположенных на определенном расстоянии друг от друга. При зтом сила измеряется в принятой системе единиц измерения массы, длины и времени. Постоянная тяготения рассматривается в этом случае как экспериментально устанавливаемый коэффициент пропорциональности в уравнении (1), связывающем силу тяготения с притягивающими массами Tn1 и т2 и с расстоянием г между ними. Такое экспериментальное определение постоянной тяготения / провел Г. Кавендиш через HO лет после открытия Ньютоном закона тяготения. В гл. II мы подробно опишем эти эксперименты. Здесь же подчеркнем большое принципиальное значение опытов Кавендиша, которое не ограничивается получением числового значения постоянной тяготения, всего лишь на 10% отличающегося от его современного значения, а заключается главным образом в том, что впервые опытным путем подтверждена справедливость закона тяготения не только для небесных тел, HO и для небольших по массе земных тел. В дальнейшем мы будем называть постоянную тяготения, определенную описанным путем, кавендиша гравитационной постоянной, или, более кратко, кавендиша постоянной. Ее размерность выводится следующим образом. Размерность силы F определяется из второго закона Ньютона, согласно которому сила равна произведению массы на ускорение. Тогда постоянная тяготения
ПОСТОЯННАЯ тяготкния
17
будет иметь размерность *)
[/і = [LHMpm-2,
где L — длина, M — масса, a. T — время.
Предполагается, что инерциальная масса, которая фигурирует во втором законе Ньютона, и гравитационная — в законе тяготения — эквивалентны друг другу. Численно в системе СИ кавендиша гравитационная постоянная равна
/ = 6,673-IO-11 м3/кг-сек2.
В теоретической физике вместо кавендиша гравитационной постоянной / используется иногда величина х, выраженная в метрической системе единиц и связанная с / соотношением
к = ~ = 1,865 • IO-28 м/кг,
где с — скорость света. Величину к будем называть Эйнштейна гравитационной постоянной.
При другом подходе к выводу постоянной тяготения в качестве постоянной тяготения принимается заранее выбранное число, которое удовлетворяет определяющему эту постоянную уравнению благодаря соответствующему выбору единиц для измерения массы, длины и времени или их комбинации. Так устанавливается постоянная тяготения в астрономии. Хотя в качестве уравнения, определяющего такую гравитационную постоянную, используется третий закон Кеплера, все же в основе такого определения лежит закон тяготения Ньютона.
Напомним вывод третьего закона Кеплера из закона тяготения Ньютона. Рассмотрим две точечные массы M и т, притягивающиеся по закону, описываемому формулой (1), и движущиеся вследствие этого с ускорениями.
*) Если определить силу из закона тяготения Ньютона, приняв постоянную тяготения / = 1, то тогда должна быть введена некоторая размерная постоянная /і в формуле, представляющей второй закон Ньютона F — fxma, где т — масса, а — ускорение. Сила F по новому определению имеет размерность [F] = [Af]2 [L]~2, а постоянная /і [Д] = [М] [L]-3 [Г]2. Численно /і равна
1,499-10* кг-сек-1 мя.
18
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Уравнения движения массы т относительно массы M в полярной системе координат (р,ф) с началом в центре массы M имеют вид
где \i = f (т jT М), р — расстояние массы т от начала координат, ф —полярный угол направления на массу т, a h — произвольная постоянная. Смысл последней становится очевидным, если обратить внимание на то, что уравнение (3) является аналитическим выражением второго закона Кеплера. Согласно этому закону масса т описывает вокруг массы M плоскую кривую по закону площадей так, что
где а и b — полуоси эллиптической орбиты, T — период обращения массы т,а е — эксцентриситет ее орбиты.
Исключив dy/dt из уравнения (2) с помощью равенства (3) и решая его, получим
где P — а со — произвольная постоянная, завися-
щая от выбора направления полярной оси, относительно которой отсчитывается угол ф. Уравнение (5) есть уравнение эллипса с фокальным параметром Р. Ho известно, что для эллипса фокальный параметр равен
(3)
2паЪ 2яа2 У1 — е2 — f
(4)
P
(5)
P
1 + С COS (ф — ш) ’
P = а (1 —е2).
Следовательно
h = \ia( 1 — е%).
(6)
Возводя в квадрат обе части равенства (4) и приравнивая левую часть полученного равенства левой части равенства (6), получим аналитическое выражение третьего
ПОСТОЯННАЯ ТЯГОТЕНИЯ
19
закона Кеплера
4л2в8
(7)
Перепишем формулу (7) применительно к движению центра тяжести Земли и Луны вокруг Солнца в виде
к = Ti (Mq + Mq + M ?) ; ^
здесь T — продолжительность сидерического года в эфе-меридных сутках, A0 — расстояние, близкое к размеру большой полуоси орбиты движения центра тяжести системы Земля — Луна вокруг Солнца; М®, М@, Mc — массы Солнца, Земли, Луны, к —постоянная тяготения, названная в честь Гаусса (1777—1855) гауссовой гравитационной постоянной. Часто ссылаются на то, что к названа в честь Гаусса потому, что в книге «Theorie motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambien-tium» он впервые вывел значение к. Однако в действительности это не так. Значение к мы находим и у самого Ньютона [20, стр. 619]. Ньютон получил к = 0,01720212 вместо к = 0,01720209895, найденного Гауссом 120 лет спустя. Вывод Ньютоном значения постоянной тяготения к не был понят многими его современниками. Как указывает А. Н. Крылов [17], переводчик «Начал» Ньютона на немецкий язык И. Вольферс не понял обозначения этого числа у Ньютона через X, в связи с чем и написал: «точка X на чертеже не показана».
