Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
квадрат гг2 = ixi равен -1. Вычисления с комплексными числами проводятся
практически также, как и с вещественными. Число, комплексно-сопряженное
числу z - z = х - iy; легко проверить, что zz = х2 у2, a |z| =
положительному квадратному корню zz. Комплексные числа сложнее поддаются
интуитивному пониманию, нежели вещественные, но обладают некоторыми
техническими преимуществами. Например, из комплексных чисел всегда можно
извлечь (комплексный) квадратный корень.
3. Это примечание и два последующие дают очень беглый обзор квантовой
механики.
Уравнение Шредингера.
Напомним, что уравнение Ньютона выглядит следующим образом (примечание 1
к главе 5):
Мы допустим, что существует функция V от х\,... , ждг (называемая
потенциалом) такая, что
где grad^ - это вектор производных по компонентам положения Xj j-ой
частицы. (В случае гравитационных взаимодействий мы имеем
Глава 15. Кванты: концептуальная основа
Fi = - grado) v>
Примечания
179
В квантовой механике существует амплитуда ф(х\,..., xn\t) для нахождения
наших N частиц в положениях x\,...,xn (в момент времени t), причем
амплитуды ф образуют то, что называется волновой функцией. Временная
эволюция ф получается при решении уравнения Шредингера:
3
где г - квадратный корень из -1, h - некоторая постоянная (постоянная
Планка), а - лапласиан по Xj, т.е. Д^)^ - сумма вторых частных
производных ф по составляющим Xj.
Допускается, что ЗЛ^-мерный интеграл
J \ф(х\,..., xn\t)\2dx\... dxjsr = 1
для некоторого значения t, и тогда это свойство истинно для всех t.
4. Линейный оператор А, действующий на функцию ф от ж1,...,ждг,
создает новую функцию Аф этих переменных так, что
А(с\ф\ + С2Ф2) = с,\Аф\ + с2Аф2, где с\ и с2 - постоянные, а ф\,ф2 - две
функции. Теперь запишем
(ф\,ф2) = J <pi(xi,...,x^2(xi,...,xN)dxi...dxN,
где ф\ - число, комплексно-сопряженное ф\. (Мы всегда используем функции
ф такие, что (</>, ф) является конечным.) Если линейный оператор А
удовлетворяет
(ф!,Аф2) = (Аф1,ф2),
то говорят, что А является самосопряженным, и именно такие операторы
подходят для соответствия физическим наблюдаемым.
Например, наблюдаемая А, соответствующая первой составляющей Xji
положения j-ой частицы, удовлетворяет
(Аф)(х 1,. ..,xN) = х^ф(х1,.. .,xN)
(произведению Xj\ и ф). Наблюдаемая Vj, соответствующая скорости j-ой
частицы, такая, что
{v^){xi,...,xN) = щг ¦ grad(j) ф(х\,... ,xN).
180
Примечания
Наконец, среднее значение А в момент времени t определяется как
(А) = (tp, Аф) = J $(xi,...,xN-,t)(A%l>)(xi,...,xN\t)dxi...dxN,
где ф - это волновая функция нашей системы. (Это определение среднего
значения векторного состояния, определенного волновой функцией ф.
Существуют более общие средние значения, определенные матрицами плотности
и в большей степени соответствующие распределениям вероятности в
классической теории вероятностей.)
5. Если самосопряженный оператор А удовлетворяет А2 = А, то он
называется проекцией, и такие операторы соответствуют простым событиям.
Если даны два линейных оператора А и В, то их произведение АВ является
линейным оператором таким, что (АВ)ф = А(Вф), для всех функций ф. В
частности, если АВ = = В А, мы говорим, что А и В являются коммутирующими
операторами. Произведение АВ двух коммутирующих проекций является опять-
таки проекцией и подходит для представления события "А и В", если А и В
представляют события "А" и "В". Если АВ В А, то естественного определения
проекции, соответствующей проблематичному событию "А и В", не существует.
Сложное событие, в котором срабатывают или не срабатывают несколько
детекторов, соответствует самосопряженному оператору, который может и не
быть проекцией (но он положителен, т. е. является квадратом
самосопряженного оператора). Здесь опять можно определить "А и В", когда
А и В коммутируют.
6. Если честно, то идеи Белла не совсем согласуются с теми, что в
общих чертах описаны в данной главе; см. J. S. Bell, Speakable and
Unspeakable in Quantum Mechanics /О чем можно и о чем нельзя говорить в
квантовой механике/ (Cambridge: Cambridge University Press, 1987). (Это
собрание перепечатанных работ Белла, которое очень хорошо приняли
физики.)
7. См. сноску 8 на стр. 76 "Квантовой электродинамики" (ссылка на эту
книгу приведена в примечании 1 к главе 15). Расплывание волновых пакетов
- это одна из попыток вложить в математический формализм квантовой
механики больше, чем это строго необходимо для объяснения
экспериментальных фактов. В подобных попытках нет ничего особенного, при
условии, что они не противоречат экспериментальным фактам. Другие типы
расширения математического формализма квантовой теории предлагались
Примечания
181
Дэвидом Бомом (см. книгу Белла в примечании б к главе 15), а также в
работе R. В. Griffiths, "Consistent histories and the interpretation of
quantum mechanics" /Согласующиеся истории и интерпретация квантовой
механики/ J. Statist. Phys. 36 (1984): 219-72.
1. Серьезное техническое рассмотрение добавило бы к нашему анализу
