Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
книгой является
I. Steward, Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos /Играет
ли Бог в кости? Новая математика хаоса/ (London: Penguin, 1990).
6. Оригинальные публикации: Л. Д. Ландау "О проблеме турбулентности",
Дохл. Акад. Наук СССР 44, н. 8 (1944): 339-42; E.Hopf
170
Примечания
"А mathematical example displaying the features of turbulence"
/Математический пример, проявляющий черты турбулентности/, Соттип. Pure
Appl. Math. 1 (1948): 303-22. Идеи Ландау можно прочитать в книге
"Гидродинамика" Л. Д. Ландау и Е.М.Лифщица из их известного курса по
теоретической физике.
7. Т. S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions /Структура
научных революций/, 2-ое изд. (Chicago: University of Chicago Press,
1970). Я не могу утверждать, что безоговорочно верю в идеи Кана; в
частности, мне кажется, что они очень слабо относятся к математике.
Однако физические концепции мод и хаоса, видимо, достаточно хорошо
подходят к описанию Каном парадигм.
8. S. Smale, "Differentiable dynamical systems", Bull. Amer. Math.
Soc. 73 (1967): 747-817. См. также русский перевод С. Смейл
"Дифференцируемые динамические системы", УМН, 1970, т.25, №1, стр. 113-
185.
Глава 10. Турбулентность: странные аттракторы
1. Используя обозначения примечания 3 главы 4, начальное условие х по
истечении времени t дает точку ffx. Если х заменя-
д^х
ется х + Ах, то flx заменяется flx + Aflx, и, если Aflx = -- • Ах
растет экспоненциально с t, мы говорим, что имеем чувствительную
зависимость от начальных условий. Точнее мы имеем чувствительную
зависимость от начальных условий, если матрица частных производных
dffx/dx имеет норму, растущую экспоненциально с t. Теперь рассмотрим
движение, описанное к углами с начальными значениями в\,... ,0k, а по
истечении времени t превращающимися в 0i + u\t,..., Ok + ookt (mod 27г).
Записывая
/*(01, • • • , 0/е) = (01 + Mit, . . . , Ok + (1)
мы находим
Д/*(0ь...А) = (Д01,...,Д0к).
Правая часть уравнения не зависит от t, а потому мы не имеем
чувствительной зависимости от начальных условий. Временные эволюции,
которые можно привести в форму (1), изменяя переменные, называются
квазипериодическими и опять-таки не выказывают чувствительной зависимости
от начальных условий. Заметьте, что изменение переменных, о котором идет
речь, является параметризацией по /с-углам, соответствующим суперпозиции
Примечания
171
к-мод. Множество, которое можно параметризовать по /с-углам является к-
тором или /с-мерным тором (т. е. произведением к кругов).
2. E.N. Lorenz, "Deterministic nonperiodic flow" /Детерминистический
непериодический поток/ J. Atmos. Sci 20 (1963): 130-141.
3. D. Ruelle and F. Takens, "On the nature of turbulence" /О природе
турбулентности/ Commun. Math. Phys. 20 (1971): 167-192; 23 (1971): 343-
44.
4. См. примечание 1, глава 10, выше.
5. В. Mandelbrot, Les objets fractals (Paris: Flammarion, 1975);
английский вариант: The Fractal Geometry of Nature (San Francisco:
Freeman, 1977). /Русский перевод книги "Фрактальная геометрия природы"
готовится к изданию в РХД/. Мандельброт привлек внимание ученых к
повсеместному присутствию фрактальных форм среди природных объектов. Это
был очень важный и успешный вклад. Однако до сих пор отсутствует общее
понимание того, как возникают фрактальные формы.
Глава 11. Хаос: новая парадигма
1. J. В.Мс Laughlin and Р. С. Martin, "Transition to turbulence of a
statically stressed fluid" /Переход к турбулентности статически сжатой
жидкости/ Phys. Rev. Let. 33 (1974): 1189-92; J. P. Gollab and
H. L. Swinney, "Onset of turbulence in a rotating fluid"
/Возникновение турбулентности во вращающейся жидкости/ Phys. Rev. Let. 35
(1975): 927-30.
2. T. Li and J. A.Yorke, "Period three implies chaos" /Период три
означает хаос/ Amer. Math. Monthly 82 (1975): 985-92. В этой написанной
простым языком статье показано, что для большого класса отображений
линейного отрезка на самого себя, существование периодической точки
периода 3 говорит о существовании периодических точек любого другого
периода. Именно эта сложная ситуация и называется в статье хаосом.
Название оказалось замечательно успешным, но прижилось оно к совершенно
другой ситуации! (Временная эволюция со множеством периодических орбит
зачастую не выказывает чувствительной зависимости от начальных условий.
На самом деле многие периодические орбиты не обязательно должны
находиться на аттракторе, поэтому их присутствие не относится к
долгосрочной временной эволюции системы.) Через некоторое время было
обнаружено, что результат Ли и Йорке является специальным случаем более
ранней теоремы Шарковского. Рассмотрим унимодальное отображение /:
172
Примечания
[-1,1] -> [-1,1], т.е. непрерывное отображение такое, что /(-1) = = /(1)
= -1, а / возрастает на промежутке [-1,0] и убывает на промежутке [0,1].
Теперь рассмотрим следующий необычный порядок положительных целых чисел:
3>~5>~7>~...>~2-3>~2-5>~2-7>~...
2п • 3 У 2п • 5 У 2п • 7 У ...
