Случайность и хаос - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
невозможно доказать непротиворечивость тех систем аксиом, которые
используют математики. А потому здесь нужна своего рода вера. Однако
большинство математиков в достаточной степени убеждены, что используемые
ими аксиомы арифметики или теории множеств никогда не породят
противоречий.) Аксиомы, теоремы и правила вывода теории А теперь можно
рассматривать как математические объекты, к которым можно применить
теорию В. Таким образом, мы смотрим на теорию А, так сказать, извне, и
можем доказать относительно ее то, что невозможно доказать изнутри. Это
метаматематическая игра, и она весьма коварна. Но если вы верите в
непротиворечивость А (и В), то следствия вроде теоремы Геделя о неполноте
неизбежны.
4. R. J. Solomonoff, "А formal theory of inductive inference"
/Формальная теория индуктивного вывода/ Inform, and control 7
(1964): 1-22, 224-54; A. H. Колмогоров "Три подхода к определению
концепции "качества информации"", Пробл. передачи информ. 1
(1965): 3-11; G.I.Chaitin, "On the length of programs for computing
binary sequences" /О длине программ вычисления бинарных
последовательностей/ J. ACM 13 (1966): 547-69. См. также G.I.Chaitin,
Algorithmic Information Theory /Теория алгоритмической информации/
(Cambridge: Cambridge University Press, 1987); G.I.Chaitin, Information,
Randomness, and Incompleteness /Информация, хаотичность и неполнота/
(Singapore: World Scientific, 1987).
5. См. теорему 2 в Приложении к работе G. I. Chaitin, "Informa-tion-
theoretic computational complexity" /Информационно-теоретическая
вычислительная сложность/ IEEE Trans. Inform. Theory IT-20 (1974): 10-15.
Эта статья перепечатана (стр. 23-32) в книге Information, Randomness, and
Incompleteness (см. предыдущее примечание).
6. См. М. Davies, Y. Matijasevic, and J. Robinson, "Hilbert's tenth
problem. Diophantine equations: Positive aspects of a negative solution"
/Десятая проблема Гильберта. Диофантовы уравнения: положительные аспекты
отрицательного решения/ в Mathematical Developments Arising from Hilbert
Problems, Proc. Symp. Pure Math. 27 (Providence, R.I.: American
Mathematical Society, 1976), pp. 323-78.
7. См. книгу Algorithmic Information Theory, ссылка на которую
приводится в примечании 4 к главе 23. На самом деле последовательность
Чайтина становится случайной лишь через конечное число членов.
8. Одно из предложений Пьера Картье состоит в том, что аксиомы теории
множеств на самом деле противоречат друг дру-
Примечания
189
гу, но доказательство этого противоречия было бы таким длинным, что его
невозможно было бы осуществить в нашей физической вселенной! Если
говорить более консервативно, то мы можем ожидать, что дальнейшее
развитие математической логики будет совместимо с тем, что принято
сейчас, но прольет новый свет на основы математики.
Глава 24. Истинный смысл разделения полов
1. Мы можем допустить, что потомок сообщения пропорционален
ехр[^(сообщения)], и разрешить мутации от сообщения к близко схожим
сообщениям. Основной недостаток этой модели, или метафоры, жизни состоит
в том, что она не включает динамические аспекты связей сообщения с
сообщениями того же вида и с сообщениями разных видов (т. е. во внимание
не принимается динамика популяции).
2. Для упрощения математики мы сейчас говорим о точечных мутациях
(хотя другие типы мутаций имеют огромное значение для эволюции). Точечные
мутации соответствуют случайному блужданию в случайной среде, созданной
функцией Е. Допущение о том, что потомок сообщения пропорционален
ехр[^(сообщения)], означает, что предпочтение отдается большим значениям
Е. Известно, что случайные блуждания в случайной среде происходят очень
медленно, потому что для того, чтобы перебраться с одной горы на другую,
сначала нужно спуститься с вершины первой, а это весьма невероятный
процесс (см. Я. Г. Синай "Предельное поведение одномерных случайных
блужданий в случайных средах", Теор. верояш. и ее примен. 27 [1982]: 247-
58; E.Marinari, G.Parisi, D.Ruelle, and P.Windey, "On the interpretation
1 // noise" /О интерпретации 1// шума/ Commun. Math. Phys. 89 [1983]: 1-
12; R. Durret, "Multidimensional random walks in random environments with
subclassical limiting behavior" /Многомерные случайные блуждания в
случайных средах с подклассическим предельным поведением/ Commun. Math.
Phys. 104 [1986]: 87-102. Таким образом, случайное блуждание стремится
остаться на вершинах маленьких гор. Этого можно избежать, увеличивая
скорость мутаций, но такое увеличение жестко ограничено необходимостью
сохранения важных генетических сообщений. На самом деле, по мере перехода
от простых организмов с короткими генетическими сообщениями к сложным
организмам с длинными генетическими сообщениями, обнаруживаются все более
и более точные механизмы репликации, которые сводят мутации ко все более
низким
190
Примечания
уровням. Закономерность этого можно понять с информационнотеоретической
точки зрения. (См. М. Eigen and P. Schuster, The Hypercycle: A Principle
