Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рюэль Д. -> "Случайность и хаос" -> 74

Случайность и хаос - Рюэль Д.

Рюэль Д. Случайность и хаос — И.: НИЦ, 2001. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): sluchaynostihaos2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 .. 78 >> Следующая

долю критики: невозможно иметь положение, строго ограниченное интервалом
[0, L], и скорость, находящуюся в интервале [-%ах,^тах][ если L и vmax -
конечные величины (невозможно технически, потому что преобразование Фурье
волновой функции ф с компактным носителем не может иметь компактный
носитель, если ф ^ 0). Однако можно добиться того, чтобы вероятности
нахождения частицы за пределами [0, L\ или ее скорости вне [-г>тах,
г>тах] были очень маленькими. Физики знают, что исследования, касающиеся
маленьких прямоугольников, как в нашем случае, не совсем правильны. Но
они удобны и часто дают правильный ответ. Но при этом нельзя забывать о
том, что квантовая механика - это не просто статистическая теория,
основанная на соотношении неопределенностей Гейзенберга, хотя такой
взгляд на вещи зачастую дает правильные ответы на простые вопросы.
2. Для N частиц, содержащихся в объеме V с полной максимальной
кинетической энергией Е, мы используем формулу:
Это объем в фазовом пространстве, в единицах h3N, поделенный на
перестановочное число N1, с целью учета неотличимости частиц [h = 6, 6Е(-
34)джоулей х сек - постоянная Планка, Ssn - объем 3 TV-мерной сферы
радиуса I, а т - масса частицы; здесь т = = 7Е(-27) кг, V = Е(-З)м3, N =
2,7Е22\. Мы принимаем Е = = 3NkT/2 [к = 1,4Е(-23) джоулей/(градус
Кельвина) - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, в данном
случае 300 градусов Кельвина]. Следовательно,
Глава 16. Кванты: счет состояний
количество состояний =
N1
/ \N S3n mEf2)
количество состояний " (2irmkT)3N/2e5N/2 "
h д/
" 1E50000000000000000000000.
182
Примечания
Мы пренебрегли техническими проблемами квантовой статистики и спина, так
как для настоящего рассмотрения они не существенны.
Глава 17. Энтропия
1. Первый закон термодинамики утверждает, что энергия сохраняется во
всех процессах. (Это действительно так при условии, что учитываются все
формы энергии, включая тепло.)
Глава 18. Необратимость
1. Эргодичность.
Рассмотрим N атомов гелия в литровой емкости как образующее классическую
механическую систему (атомы гелия сталкиваются со стенками емкости, и,
кроме того, им разрешено взаимодействовать друг с другом). Пусть для
каждого атома Xi будет его положением, a mvi - произведением его массы на
скорость (= импульсу). Совокупность X Xi, mvi является точкой в фазовом
пространстве М нашей системы. По истечении времени t X заменяется новой
точкой ffX, причем ffX имеет ту же самую полную энергию, что и X. Назовем
множество Me Х-ов, имеющих одинаковую энергию Е} энергетической
оболочкой. Объем в фазовом пространстве (произведение по i dxi и mdvi)
естественным образом устанавливает объем на энергетической оболочке. Если
А является подмножеством Me, а об А - его объемом, то
об(/гА) = обА,
т. е. временная эволюция сохраняет объем. Необходима определенная
тщательность, чтобы сформулировать все это более точно (например, А
должно быть измеримым), но пока все достаточно просто. А вот кое-что
новенькое. Мы говорим, что временная эволюция на энергетической оболочке
Me является эргодической, если инвариантное подмножество J Me (т. е. flJ
= J для всех t) не может быть таким, что 0 < о6J < о6Ме (т. е. J должно
иметь нулевой или полный объем).
Допустим, что временная эволюция является эргодической. Тогда почти для
каждого исходного состояния X и для каждого подмножества А Me доля
времени, проведенная ffX в А, равна о6А/о6Ме- [Точнее, если 1(Х,А,Т) -
продолжительность време-
1(Х А Т)
ни, проведенного flX в i с 0 < t < Т, то lim------^- = о6А/о6Ме,
Примечания
183
когда Т -> оо; это вид эргодической теоремы.] Тогда для эргоди-ческих
временных эволюций средние по времени просто связаны с объемами в
энергетической оболочке, вследствие чего и важна эргодичность. К
сожалению, очень сложно доказать, что механическая система является
эргодической. Это доказательство было получено для бильярда Синая,
рассмотренного в главе 7, и еще для очень немногих интересных систем.
Наша же система атомов гелия остается случаем "эргодической гипотезы".
2. Для эргодической временной эволюции время возврата очень велико,
что объясняет необратимость. Но мы можем иметь необратимость и без
эргодичности при единственном условии, что время возврата является
большим. Таким образом, возможно некоторое ослабление требования
эргодичности, которое может понадобиться для некоторых физических теорий.
В главе 17 я упомянул, что чувствительная зависимость от начальных
условий полезна для понимания необратимости. Как это работает? На самом
деле чувствительная зависимость от начальных условий не обязательна для
эргодичности, но может быть полезна и является, например, первым шагом в
доказательстве эргодичности для бильярда Синая.
Для временной эволюции, которая не является эргодической, некоторое
количество внешнего шума переведет систему из одной "эргодической
составляющей" в другую при условии, что энергетическая оболочка является
связным множеством. Это действие малых возмущений (типа гравитационного
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 .. 78 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed