Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
находящихся севернее заданной параллели, является открытым множеством в
М, но не является таковым в R3.
Замечание. Любая компонента М, очевидно, сама является многообразием.
23.7. ГЛОБАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ. ГОМОТОПНЫЕ ПУТИ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
В оставшейся части этой главы рассматриваются только связные
многообразия. Два пути %>0 и на многообразии М, имеющие одну и ту же
начальную Р0 и одну и ту же конечную Рг точки, называются гомотопными,
если один из них можно непрерывно деформировать в другой (оставаясь в М),
т. е. если найдется такая непрерывная функция P(t, s) (0^/,s^l), что для
каждого фиксированного sg[0, 1] P(t, s) проходит некоторый путь от Р0 до
Pt, когда I пробегает все значения от 0 до 1, причем
126
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
этот путь при s = 0 совпадает с #0, а при s = l с <в1. Как уже говорилось
в § 19.5, многообразие односвязно, если любые пути на нем, имеющие одни и
те же начальные и конечные точки, гомотопны.
Ясно, что гомотопия является отношением эквивалентности (она рефлексивна,
симметрична и транзитивна), поэтому для заданных начальной и конечной
точек Р0 и Pj множество всех
путей, гомотопных заданной кривой, соединяющей Р0 и Plt образует класс
эквивалентности, или гомотопический класс, в М. На многообразии
образованном областью (х, у)-плоскости, внешней к единичному кругу, три
пути из Р в Q, изображенные на рис. 23.5 слева, принадлежат одному
гомотопическому классу, тогда как на том же рисунке справа указаны такие
три пути, что никакие два из них не гомотопны. Вообще, если % обозначает
некоторый путь в М, то [Щ обозначает класс эквивалентности всех путей,
гомотопных
Определим теперь закон композиции гомотопических классбв путей. Пусть <ё1
- путь от Р до Q, а #2-путь от Q до R. Через обозначим путь, проходящий
от Р до R через точку Q и идущий от Р к Q по пути SS'j, а от Q до R-по
пути &2. Аналитически это можно представить так. Если функции Рг (t) и
Р2(() (O^.t^.1) описывают кривые ^ и &2 соответственно, то функция
Рис. 23.5. Гомотопные и негомотопные пути.
{(х, у)> х2 + у2 > 1},
О
(23.7.1)
описывает путь <S1o'St. Закон композиции гомотопических классов
23.7. Гомотопные пути. Фундаментальная группа
127
определяется теперь формулой
Эта формула применима тогда, когда конечная точка путей первого класса
совпадает с начальной точкой путей второго класса; в противном случае
выражение [#i]°[#a] не определено. Легко
дать строгое доказательство того, что результат композиции не зависит от
выбора путей и #а из соответствующих классов. "Произведение" \%1]°['ёг]
содержит все пути, гомотопные пути такие, как кривая %'л на рис. 23.6.
Данный закон композиции ассоциативен, однако он не превращает множество
всех гомотопических классов в группу, потому что эта композиция не
определена для любых пар классов
и ничего нельзя сказать об обратных элементах. Можно, однако, получить
группу следующим образом. Пусть выбрана некоторая фиксированная основная
точка (отмеченная точка) Вй\ ограничимся рассмотрением только тех путей,
которые начинаются и кончаются в В0. (В определении гомотопии не
исключался случай совпадения начальной и конечной точек.) Множество
гомотопических классов таких путей образует группу, называемую
фундаментальной группой многообразия и обозначаемую щ (М). Если <6й-
путь, который может быть стянут в отмеченную точку В0 при помощи
непрерывной деформации в М (такой путь называется нуль-гомотопным), то
<ё0о%1 можно деформировать в %>1У т. е.
128
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
[*0]°[i?i] = [^1]; значит, [#0] - единица группы. Для любого пути
обозначим через тот же самый путь, но проходимый в обратном направлении,
т. е. если функция Р (t) (0^/^1) описывает ад то функция /*(1-t)
описывает iff1. Ясно, что путь стягивается в отмеченную точку В0, т.
е. он нуль-
гомотопен (см. рис. 23.7); поэтому
[^Над*] = [*?"] (единица), (23.7.2)
т. е.
= [^Г1]- (23.7.3)
Для связного многообразия М фундаментальная группа (Ж) не зависит от
выбора отмеченной точки. Пусть Вх-любая дру-
гая точка Ж, а ад-любой фиксированный путь от В0 до В*. Если % -
произвольный путь, начинающийся и кончающийся в Bj, то
- кривая, начинающаяся и кончающаяся в В0 (см. рис. 23.8). Отображение
[%]~+[%01°%°%^] (23.7.4)
является изоморфизмом фундаментальной группы с Bt в качестве отмеченной
точки на фундаментальную группу с отмеченной точкой В0, так как это
отображение, очевидно, является взаимно однозначным и на всю группу, а
произведение [#]о[#'] = [#о#'] при (23.7.4) переходит на
[^о^оГо^й1] = [адо"]о["'0ад] =
= [^1oS]o([i?Bl]-1o[U)o[rog07] =
= [?01 о ? о ад> [#01 о ?' О ад
Примеры
1. Если М - односвязиое многообразие, то его фундаментальная группа лг
(М) - тривиальная группа, состоящая только из одного единичного элемента,
23.7. Гомотопные пути. Фундаментальная группа
129
2. Пусть М - поверхность цилиндра (конечного или бесконечного, хотя и
изображенного конечным на рис. 23.9). Пусть 0, г - цилиндрические
