Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 57

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 162 >> Следующая

Л12, причем
Фм (ф21 (Qг)) = 'Ч'ю (Qi) - Фо^Фго (Q2)-
Упражнение
Завершите доказательство, показав, что (а) ф21-отображение на; (б) любое
имеет такую окрестность V, что каждая компонента гомео-
морфна V при отображении ф21, и (в) если также односвязно, то (?!
однозначно определяет Q2, так что ф21 взаимно однозначно.
Замечание. Утверждение о гомеоморфности двух многообразий ничего не
говорит о том, как они могут выглядеть при вложении их в некоторое
евклидово пространство большей размерности. Окружность на плоскости как
одномерное многообразие гомеоморф-на простому узлу в пространстве;
простая бумажная петля не гомеоморфна листу Мёбиуса, но гомеоморфна
бумажной петле, у которой перед склеиванием концов сделано два
полуоборота (т. е. один полный оборот одного конца) или даже любое четное
число полуоборотов, тогда как лист Мёбиуса гомеоморфен петле с нечетным
числом полуоборотов (одного из склеиваемых концов бумажной полосы). Во
всем этом можно убедиться при построении этих многообразий методом
склеивания краев, рассмотренным в §23.1.
На основании данной теоремы односвязное накрывающее многообразие
называется универсальным накрывающим многообразием. В § 24.5 будет
показано, что любое многообразие N имеет универсальное накрывающее
многообразие. Это обстоятельство играет важную роль в теории групп Ли, а
также при космологической интерпретации многообразий Эйнштейна. Поскольку
построение универсального накрывающего многообразия представляет
некоторую трудность, ниже приводится несколько замечаний о математических
построениях вообще.
24.4. ЗАМЕЧАНИЯ О ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Широкое использование построений математиками представляется иногда на
первый взгляд неестественным и искусственным. Что касается физиков, для
которых вещественное число - это, например, мгновенная координата x-x(t)
движущейся точки, то в целом для них кажется неприемлемым рассматривать
это число как бесконечный класс эквивалентности последовательностей Коши
рациональных чисел (особенно когда напоминается, что каждое рациональное
число есть бесконечный класс эквивалентности упорядоченных пар
24.4. Замечания о построении математических моделей
143
целых чисел и т. д.). Однако после завершения этого построения и
выяснения свойств получающейся системы можно полностью забыть детали
построения и рассматривать вещественное число как объект, столь же
изначальный и неделимый, сколь и точка в евклидовой геометрии. Построение
математических моделей начинает сейчас играть заметную роль в квантовой
теории и теории относительности, причем в основном по тем же причинам,
что и в математике; когда структура определена набором аксиом, остается
только доказать их взаимную непротиворечивость, а наилучший способ
сделать это - представить модель структуры, основанную на более простых
аксиомах, которые уже были приняты ранее.
Одним из наиболее старых примеров такого рода служит отношение
математиков к комплексным числам. Некоторым математикам казалось
неестественным и опасным утверждение о существовании такого числа i, что
/2=-1, и было немало споров относительно возможности существования таких
чисел. Этот вопрос был решен (Гауссом в 1831 г. и независимо Гамильтоном
в 1837 г.) путем рассмотрения упорядоченных пар (а, Ь) вещественных чисел
со следующими определенными для них арифметическими операциями:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b)(c, d) = (ac-bd, bc + ad),
вследствие чего система всех упорядоченных пар приобрела в точности те же
самые свойства, что и система чисел a+bi, если бы число i существовало.
Но тогда допускать (или не допускать) существование комплексных чисел -
дело вкуса, а писать ли (а, Ь) или a+bi - это несущественно.
Исследуя релятивистское волновое уравнение для электрона, Дирак
столкнулся с необходимостью ввести четыре величины аь а2, а8, а4,
произведение которых удовлетворяло бы правилу
"/** +"*"у - 2в/* (/'.?= 1.......4). (24.4.1)
Вместо того чтобы просто постулировать существование этих а j, а
равенство (24.4.1) принять за аксиому, Дирак указал четыре матрицы
размера 4X4, произведение которых в точности удовлетворяет (24.4.1) (если
правая часть равенства интерпретируется как единичная матрица, умноженная
на 26;-h).
Теория алгебр Ли начинается с абстрактных определений и аксиом. После
чрезвычайно длительных и сложных рассуждений, содержащих много трудных
лемм и теорем, получается классификация так называемых простых
комплексных алгебр Ли, по которой такие алгебры сводятся к девяти типам,
или классам. После этого возникают два вопроса: (1) В какой мере исходные
аксиомы непротиворечивы? (2) Может ли быть так, что последующие работы
144
Гл. 24. Накрывающие многообразия
еще более упростят теорию и исключат некоторые из этих девяти типов? На
оба вопроса ответы были получены путем построения математической модели
каждой (из этих девяти типов) алгебры без использования каких бы то ни
было аксиом (кроме обычных арифметических). Некоторые из этих конструкций
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed