Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
что а) любой путь, начинающийся и кончающийся в В и совершающий такого
рода скачки, имеет общую длину (в К) не меньше 2я; б) из соображений
непрерывности интуитивно ясно, что непрерывная деформация не может
уничтожать эти скачки. (Точнее это будет обосновано в следующей главе.)
Рассмотрим теперь путь ё, который начинается в В и возвращается в В после
конечного числа таких скачков, скажем из Лх в Ль из А2 в А3 и т. д., где
в каждом случае штрих обозначает диаметрально противоположную точку.
Посредством непрерывной деформации последовательные скачки могут быть
уничтожены по два за раз. Рассмотрим некоторый участок ё, содержащий два
последовательных скачка (см. рис. 23.14, где этот участок состоит из
частей РА^, А\А2 и A2Q). Сдвигая путь AtA2 к поверхности К и одновременно
рисуя точки А2 и Ai (а также Аг и Л2) как одну, участок AiA2 пути можно
уничтожить, а остаток будет похож на штриховую кривую, проходящую из Р в
Q без скачка.
Продолжая эту процедуру, путь ё можно либо стянуть в отмеченную точку В,
если первоначально было четное число скачков, либо свести к пути с
единственным скачком, если первоначально было нечетное число скачков.
Следовательно, группа (SO (3)) изоморфна циклической группе порядка 2,
состоящей только из двух элементов. Если первоначально путь ё содержал
132
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
бесконечное число скачков, то многие из этих скачков были бы очень близки
друг к другу, так что между ними значение ||0|| оставалось бы близким к
я, а непрерывная деформация приводила бы к пути с конечным числом
скачков. Эти результаты проще и строже будут получены в следующей главе
посредством накрытия SO (3) многообразием SU (2).
Следует отметить, что знание фундаментальной группы еще не позволяет
полностью определить глобальную топологию многообразия. Например, сфера
x2+y2Jrz2 - \ и круг х2+у2<.\ являются односвязными двумерными
многообразиями, но топологически они различны: если удалить одну точку,
то сфера останется односвязным многообразием (в отличие от круга). По
этой причине может возникнуть искушение ввести также высшие
гомотопические группы (см. Хокинг и Янг [1961, гл. 41) или другие
топологические характеристики. Однако оказывается, что первая
гомотопическая группа, т. е. фундаментальная группа,- это именно то, что
нужно для многих целей, скажем в теории накрытия одного многообразия
другим, которая является предметом следующей главы.
В гл. 27 будет показано, что фундаментальная группа многообразия группы
Ли всегда абелева (коммутативна).
21.8. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВЯЗИ.
ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Любую конфигурацию двойного маятника, схема которого приведена на рис.
23.15, можно определить значениями двух углов аир. Для любых целых чисел
k и I пара чисел (а+2я&, р+2я/) представляет ту же конфигурацию, что и
(а, р). Поэтому, согласно примеру 3 из предыдущего параграфа, между
конфигурациями маятника и точками тора существует такое взаимно
однозначное соответствие, что при колебании маятника соответствующая
точка движется по тору непрерывно.
А'
К
Рис. 23.13. Не нуль-гомотопный путь на многообразии rpynm>iS0(3).
Рис. 23.14. Гомотопные пути из Р в Q на многообразии группы S0(3).
23.8. Механические связи. Декартовы произведения
133
Если вторая ось вращения перпендикулярна основной оси вращения, как на
рис. 23.16, то конец второго маятника движется по обычному тору в
пространстве.
В любом случае каждая точка маятника движется по окружности вокруг
соответствующей оси вращения, а в общем движении объединяются оба этих
круговых движения. В соответствии с этим тор рассматривается как
декартово произведение двух окружностей. В общем случае, когда Ж и Ж'-
любые два мно-
Рис. 23.15. Двойной маятнике параллельными осями.
Рис. 23.16. Двойной маятник о перпендикулярными осями.
гообразия размерностей п и п', их декартово произведение ЖхЖ' есть (п +
яО'ьгерн06 многообразие, определенное следующим образом. (1) Каждая точка
ЖхЖ'-упорядоченная пара (Р,Р'), где Р и Р' - произвольные точки Ж и Ж'
соответственно. Иначе говоря, Ж х ЛГ как множество является декартовым
произведением Ж и Ж' в смысле теории множеств. (2) Если {?/", ф, 7V [• и
{СР, ф', N'\-произвольные карты на Ж и Ж' соответственно, то карта \U",
ф", N"} на ЖхЖ' определяется так: U" - множество всех точек (Р, Р'), где
P?U, P'€U', а ф"((Р, Р')) есть (п + п')-мерный вектор, компонентами
которого являются компоненты векторов ф (Р) и ф' (Р'), т. е.
ФН(Л Р')) =
(pt(P), i= 1, п, ф 1~п(Р'), 1 = П+ 1> • • •, п-\-п'.
Очевидно, что такое определение превращает ЖхЖ' в многообразие.
Если оси вращения двойного маятника заменить идеализированными шаровыми
шарнирами, то пространство конфигураций оказывается декартовым
произведением двух двумерных сфер и
134
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
поэтому четырехмерным многообразием. (Мы пренебрегаем вращением звеньев
вокруг собственных продольных осей.)
Наконец, если маленький шарик катается внутри полой сферы, не выходя из
