Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
координаты, и пусть их значения представляют точки полосы на плоскости,
как это показано на рис. 23.9. Каждая точка из М многократно повторяется
на полосе; в частности, отмеченной точке В" на М соответствуют точки В'0,
В± 1, В±2 и т. д. Кривая иа полосе, такая, как проходящая от Во до любого
другого образа В", скажем до В&, есть образ замкнутой кривой на М и
обратно, любая замкнутая кривая, начинающаяся и кончающаяся вВ0иаМ, имеет
именно такой образ; более того, ^ может быть непрерывно деформи-
рована внутри полосы а сохранением начала и конца в любую другую кривую,
идущую от Во до В*, например в , Следовательно, для каждой из возможных
конечных точек В* имеется в точности один гомотопический класв путей,
начинающихся и заканчивающихся в В0 на М. Число k-это "чистое" число
оборотов пути из данного класса вокруг цилиндра. Композиция двух таких
путей, скажем а конечными точками flfe и В;, есть кривая с конечной
точкой Bk+t; следовательно, щ (М) изоморфна аддитивной группе целых
чисел, т. е. бесконечной циклической группе Ст. Кольцо a < х2-\-у2 < Ь,
плоскость с выколотой точкой х2-\-у2 > 0 и лиет Мёбиуса имеют
фундаментальную группу, также изоморфную С".
3. Пусть М - поверхность тора, которая задана уравнениями
z = asma, х= (Л+a cos a, cos р, у = {A -f- a cos a) sin (3,
где X-, у, г-декартовы координаты, а и А-константы (Л >а >0), а а и р-два
угла, являющиеся внутренними координатами на М (gm. рис, 23.10).
130
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
Если координатам а и Р разрешено изменяться неограниченно, то пары чисел
(а, Р) и (gc + 2nk, Р + 2nt) представляют одну и ту же точку на М. Пусть
отмеченная точка В0 задается равенствами х -А-\-а, y=z - d', она
представляется любой точкой (а, Р) = (2nk, 2nl) решетки на (а, Р)-
плоскости. Любой путь от (0, 0) до (2nk, 2nl) на этой плоскости
представляет собой замкнутую кривую на М, начинающуюся и кончающуюся в
Ва\ он может быть непрерывно деформирован в любой другой путь, идущий от
(0, 0) до (2nk, 2nl). В силу этого каждая пара целых чисел (к, I)
определяет элемент фундаментальной группы Л] (/И). Ясно, что композицией
элементов, определенных парами (к, I) и (к1, V), является элемент,
определенный парой (?+?', /+/')> т. г. фундаментальная группа тора
изоморфна прямому произведениюС^хС,., которое является свободной абелевой
группой с двумя образующими.
4. Рассмотрим многообразие М, состоящее из плоскости с двумя
выколотыми точками а и Ь. В теории функций комплексной переменной контур
интегрирования определяется записью равенства типа
Здесь выражение (а+, а-\-, Ь-) указывает на то, что контур начинается в
некоторой отмеченной точке В (не совпадающей с а или Ь), делает два
оборота вокруг точки а в положительном направлении (против часовой
стрелки),
делает один оборот вокруг точки Ь в отрицательном направлении и
возвращается в В, как показано на рис. 23.11. В теории функций
принимается как геометрически очевидное, что такая процедура адекватно
определяет контур, если / (г) аналитична всюду, кроме точек ветвления а и
ft, т. е. любые два контура, которые удовлетворяют данному выше описанию,
можно непрерывно
Рис. 23.10. Двумерный тор.
(а+, а+, Ь-)
J =
J / (г) dz.
В
Рис. 23.11. Контур на комплексной плоскости.
23.7. Гомотопные пути. Фундаментальная группа
131
деформировать один в другой без прохождения через ту или иную точку
ветвления. Иначе говоря, выражение (а+, й-\-, Ь-) определяет
гомотопический класс кривых в М, т. е. элемент (М). Мы примем именно эту
точку зрения. Простейшие нетривиальные элементы группы щ (М) суть (а+),
(б-f) и их обратные (а-) и (Ь-); будем обозначать их а, [), а-1 и Р-1. В
общем случае элемент группы выглядит так:
Yi1 У1г---Ур,
где каждое у,--либо а, либо Р, а каждый показатель в,--либо+1, либо-1.
Таким образом, (М) изоморфна свободной группе с двумя образующими. В
отличие от групп из первых трех примеров эта группа некоммутативна.
Рис. 23.12.
Та же фундаментальная группа получается для области типа восьмерки,
заштрихованной на рис. 23.12. Если из плоскости удаляется п различных
точек, то получается фундаментальная группа, изоморфная свободной группе
с п образующими.
5. Пусть М-многообразие группы вращений SO (3). В § 19.6 в М были
введены внутренние координаты как три компоненты вектора 0, который лежит
в шаре /( = {0: ||0||<я} координатного пространства. Если отождествить
противоположные концы каждого диаметра К (т. е. рассматривать их как одну
и ту же точку), то устанавливается взаимно однозначное соответствие между
точками М и точками К. Чтобы получить нетривиальный элемент группы Я!
(At), нужно взять в качестве отмеченной точки В центр шара К, а затем
рассмотреть путь ё, который проходит от В вдоль радиуса к точке А на
поверхности К, "перескакивает" в диаметрально противоположную точку Л', а
затем возвращается вдоль радиуса в В, как показано на рис. 23.13.
Этот путь ё нельзя стянуть в В при помощи непрерывной деформации, потому
