Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ограничение г)э на У0; гр есть гомеоморфизм У0 на U0; следовательно, так
определенное Р1 ([0, <i]) представляет собой отрезок пути в М1.
Теперь предположим, что Pi ([</, tj+i\) уже определено; тогда P0(tj+х)
лежит как в Uj+i, так и в Uj. В качестве Уу+i можно взять ту компоненту
ф-1 (Uj+i), которая содержит концевую точку Pi{tj+d ранее определенного
отрезка тогда отрезок Pi ([<y+i, </+2]) определяется как ф-1 (Р0 ([f/+i,
*/+2])). гДе теперь ф - ограничение ф на VJ+1. Таким образом и будет
построен весь путь gi на Mi. Он однозначно определяется кривой в нижнем
многообразии и выбором отмеченной точки Вх в верхнем многообразии; в
частности, он не зависит от выбора правильного разбиения [0, 1], потому
что любые два разбиения имеют общее измельчение, a очевидно, не меняется
при измельчении используемого разбиения (т. е. при добавлении
дополнительных точек подразбиения [0, 1]). Каждый из путей g0 и #1
однозначно определяет другой.
Лемма 2 (второй принцип поднятия). Если выполнены условия леммы 1 и если
P0(t, s)-непрерывная функция двух переменных, определенная на квадрате
и отображающая его в
М0, a P0(t0, s0) для некоторых t0 и s0 совпадает с отмеченной точкой В0,
то существует единственная непрерывная функция Pi(t, s) в Mi, такая, что
(1) ф (t, s)) = P0(t, s) и (2) Pi (ta, s0) - отмеченная точка Bt ? Mf.
Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Теорема Гейне- Бореля
обеспечивает существование конечного набора открытых множеств на (t, s)-
iuiockocth, покрывающих квадрат 0<<, s<l и определяющих при этом
правильные окрестности. Затем эти множества упорядочиваются так, чтобы
каждое последующее содержало точки пересечения хотя бы с одним из
предыдущих множеств. После этого следуют те же рассуждения, что и при
доказательстве леммы 1,
140
Гл. 24. Накрывающие многообразия
Следствие 1). Если два пути #0 и на нижнем многообразии, идущие из Ва в
некоторую точку Ав, гомотопны, т. е. если один из них может быть
непрерывно деформирован в М0 в другой с сохранением неподвижности
концевых точек, то пути, получающиеся при их поднятии в Miy также имеют
общую концевую точку Ai и гомотопны в МЛ-
Набросок доказательства. Пусть функция Р0 (t, s) из леммы 2 такова, что
для каждого s из [0, 1] Р0 (t, s) описывает путь от В0 до Л0 при
изменении t от 0 до 1, причем для * = 0 этот путь совпадает с #0> а для
s=l - с %'й. Из соображений непрерывности, связанных с правильной
окрестностью точки А0, следует показать, что конечная точка поднятого
пути Pi (t, s) не может при изменении s перескакивать с одного листа Afi
на другой.
14.3. УНИВЕРСАЛЬНОЕ НАКРЫВАЮЩЕЕ МНОГООБРАЗИЕ
В § 24.5 будет доказано, что для любого многообразия М0 существует
односвязное многообразие, накрывающее его. Это многообразие называют
универсальным накрывающим многообразием многообразия М0, поскольку, по
доказанной ниже теореме, (1) универсальное накрывающее многообразие
заданного М0 единственно (с точностью до гомеоморфизма) и (2) оно
накрывает любое другое многообразие, накрывающее М0. Доказательство
существования откладывается до § 24.5, так как оно несколько труднее для
понимания, нежели доказательство следующей теоремы.
Теорема. Если Mi и М2-связные накрывающие многообразия для М0 и М2
односвязно, то М2 накрывает Мг. Если и односвязно, то Mi и М2
гомеоморфны, т. е. топологически неразличимы.
Доказательство. Пусть ф10 и ф20-проекции Afj и М2 соответственно на Л10.
Построим проекцию ф21 многообразия М2 на Mi так. чтоф10ф21 = ф2о-Выберем
некоторые отмеченные точки В2, Blt В0 в этих многообразиях так, чтобы ф20
(В2) =фю (Si) -В0 (см. рис. 24.5). Чтобы описать ф21, нужно для каждой
точки Q2?Af2 указать точку ф2х (Q2) в Mlt что будет сделано следующим
образом. Пусть Чёг-путь Р2 (t) в М2, идущий из В2 в Q2 (т. е. P2(0) = B2,
P2(1) = Q2). Тогда проекцией #2 на М0 служит путь Р0 (t) =. = ф2о(Рг(0)
из Во в Q0. (Замечание. #0 может иметь самопересечения, даже если их не
имеет #2. Например, на рис. 24.6 #2-путь на плоскости, а #0 получается
при наматывании плоскости на цилиндр.) ОтображениефГо1, вообще говоря,
многозначно, но в силу первого принципа поднятия существует единственный
путь P = Pj(f) в М1г начинающийся в отмеченной точке Вл и такой, что фю
(^i) = #о- Теперь утверждается, что конец Q1 = P1(l) пути
однозначно определяется концом Q2 пути #2 на верхнем многообразии М2.
Чтобы доказать это, возьмем какой-нибудь другой путь #2 в М2, идущий из
г) Утверждение такого рода носит название "теорема о накрывающей
гомотопии" (см., например, Рохлин, Фукс [19771, а также Борисевич и др.
J1980J).-Прим. перее.
142
Гл. 24. Накрывающие многообразия
Вг в Qa. Поскольку Мг односвязно, и 4g2 гомотопны и могут быть
деформированы непрерывно один в другой. Поэтому и их образы и в М0 также
гомотопны, и, по следствию леммы 2, пути и 4g\, получающиеся поднятием и
в М1г имеют общий конец Q1; который и есть по определению 4>ai(Qa).
Поскольку точка Q2 была произвольной, отображение ф21 определено на всем
