Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 55

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 162 >> Следующая

Заданное многообразие JV может иметь много различных накрывающих
многообразий М и много различных накрытий заданным М. Если N -единичная
окружность | z | = 1 на г-плоскости, то N можно накрыть либо вещественной
прямой Af = R при помощи отображения л: -* ->. z = eix (можно представить
себе, что М намотана бесконечное число раз на окружность N), либо
окружностью М: |ш|=1 на да-плоскости
<0 <0 (Э"*
".'" v; и[
Рис. 24.3.
при помощи любого отображения вида ш-*z - wn, где п -
произвольное целое число, отличное от нуля (можно представить себе, что М
растянута и намотана п раз на окружность JV).
Рассмотрим отображение ф плоскости на цилиндр, задаваемое равенствами г -
х и Q=°y, где л:, у-декартовы координаты на плоскости, а г, 0 -
цилиндрические координаты на цилиндре. Это отображение переводит много
точек в одну точку, поскольку
все точки {х, у), {х, у ± 2л), (л:, у ± 4л) и т. д.
отображаются
в одну и ту же точку цилиндра. Прообраз окрестности, которая, подобно U
на рис. 24.2, не опоясывает цилиндра, состоит из бесконечной
последовательности окрестностей U) на плоскости, полученных смещением
каждой из них по горизонтали на расстояния ± 2л, ± 4л и т. д., как на
рис. 24.3. Каждая U) го-меоморфна U\ следовательно, U-правильная
окрестность. С другой стороны, окрестность типа V на рис. 24.2,
представляющая собой полосу, опоясывающую цилиндр, не может быть
правильной, потому что ее прообраз является бесконечной полосой на
Рис. 24.2.
138
Гл. 24. Накрывающие многообразия
плоскости, отображаемой при помощи ф на V не взаимно однозначно.
Упражнение
Рассмотрите различные возможные накрытия тора плоскостью, цилиндром,
другим тором.
Если М и N суть С*-многообразия, то отображение ф должно быть С*-гладким,
т. е. если ф отображает Р на Q = i|>(P), V- правильная окрестность Q, V-
компонента ф-1 (V), содержащая Р, х1, ..., хп-координаты Р в U, у1, ...,
уп-координаты Q в V, то х' являются функциями класса Сн от у', и
наоборот. (Почти во всех представляющих интерес случаях М и N-
аналитические многообразия, и эти функции являются аналитическими.)
Если накрытие ф оказывается взаимно однозначным соответствием, так что М
и N накрывают друг друга, то ф называется (С*-) гомеоморфизмом, а
многообразия называются гомеоморфными; топологически они неразличимы. В
случае k = oo гомеоморфизм иногда называют диффеоморфизмом.
24.2. ПРИНЦИПЫ ПОДНЯТИЯ
Если накрывающее многообразие М связно, то и N обязательно также связно.
Обратное, конечно, неверно, однако здесь будут рассматриваться только
связные многообразия. Если М односвязно (подобно прямой или плоскости в
предыдущих примерах), то, согласно следующей ниже теореме, оно
оказывается наибольшим из всех связных многообразий, которые накрывают
данное многообразие N. Нам потребуются две леммы.
Лемма 1 (первый принцип поднятия). Предположим, что многообразие Mi
накрывает многообразие М0 проекцией ф. Пусть В0-произвольная отмеченная
точка М0. Из всех точек Р ? yVfx, таких, что ф(Р) = В0, выберем одну и
назовем ее отмеченной точкой Bi в Мг. (См. рис. 24.5 в следующем
параграфе, где, однако, добавлено третье многообразие в связи с теоремой,
которая будет доказана ниже.) Пусть %0-путь в М0, описываемый непрерывной
функцией P0(t) (0^/<1) и начинающийся в отмеченной точке В0. Тогда
имеется только один путь Pt (/) ? Mit такой, что Pt (0) = В1 • ы ф (Рг
(/)) = Р0 (/). Говорят, что путь #0 поднят в М из Л40.
Доказательство. В определении накрытия отмечалось, что окрестность UaMo
называется правильной, если отображение ф оказывается гомеоморфизмом
каждой компоненты ф-1(?!) на U. Для произвольного подынтервала 1 а [0, 1]
обозначим через Р0 (/) отрезок пути %0:
PoV) = {Pe(t): t?l}.
24.2. Принципы поднятия
139
Разбиение [О, 1] на замкнутые подынтервалы [0, <х], [<ь /а], [(/v_i,
1]
называется правильным разбиением, если каждый отрезок Po([i/, i/+ij) ПУ(tm)
g0 лежит в какой-то правильной окрестности. Правильное разбиение
существует потому, что каждая точка g0 лежит в некоторой правильной
окрестности; следовательно, каждое t из [0, 1] лежит в некотором открытом
подынтервале /, таком, что отрезок пути Р0 (/) находится в правильной
окрестности. Эти открытые интервалы покрывают [0, 1], а по теореме Гейне-
Бореля среди них имеется конечное число интервалов, покрывающих [0, 1].
Упорядочим их в порядке возрастания t, а затем выберем какое-нибудь Ц из
пе-
. |_________________________________________
О h t2 1
Рис. 24.4.
ресечения первого и второго подынтервалов, t2 из пересечения второго и
третьего подынтервалов и т. д. (см. рис. 24.4). Эти точки и дают
правильное разбиение.
Обозначим через Uj правильную окрестность, содержащую отрезок пути Р"
([/,, tj+1]). Для каждого / = 0, 1,..., N-1 определим (индуктивно)
отрезок Pi ([tj, tj+i]) пути gi = {Pi (()• << 1} в верхнем многообразии
JU1.
Вначале возьмем У0 - компоненту ф-1 (По), содержащую отмеченную точку Вх
из М\, и определим Pi ([О, <х]) как г);-1 (Р0 ([0, <i])), где tJj-
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed