Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
K,=-(\/2)(x2dX'+xtdxJ-(\/2)(x2d-Xi + xtd-xJ,
K2 = (il2)(xtdx-xldx)-(il2)(xid-x-xxd-1),
Кл = -(\12)(х1дх-х2дх)-(\12)(хлд~-хгд-^).
Полная система соотношений коммутации имеет вид
[L,, L/] = L*. [Kh Kj\ = Lk, [К" L,] = -K>, [Kh L,]_0
(22.11.13)
(ijk= 123, 23 1, 3 12).
Введем, кроме того, операторы
L± = Ц ± iLt, К* = Ki ± i/C.. (22.11.14)
22.12. НЕПРИВОДИМЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ
ГРУППЫ SL (2, С)
В качестве базисных векторов для пространства Х°° или по крайней мере для
множества всех многочленов в Х°° введем одночлены
ф = фгтг'ш' -(1/С) х'Гт xl*mx\'-m~xl^m\ (22.12.1)
где
С* = (/ -т)!( / + т)!(/' - т')\(Г + т')!,
/ и Г-любые два числа из 0, 1/а, 1, 3/2, •••, а
т = /, 1-1.......-/, т' = /', /' - 1, ..., - /'.
Для данных / и Г пространство X (/, /'), представляющее собой линейную
оболочку векторов ¦tyimpm', является пространством всех однородных
многочленов степени 21 от переменных Xi и xt
и степени 21' от переменных дс, и х2. Это пространство имеет
(комплексную) размерность (2/+ 1)(2/' +1). Из (22.11.9) ясно,
112
Гл. 22. Представления ерупп и квантовая механика
что каждое подпространство Х(1, /') отображается само на себя при любом
р(и) и, значит, является инвариантным подпространством. Из (22.11.12) мы
видим, что
Ls\|' = i(m - т')ф, K3Tj- = (/7z + m')iJ);
иначе говоря, т-собственное значение оператора-1/2iL3 + l/2K!l, а т'-
собственное значение оператора ll2iL3-\-1l2K3. Отсюда при помощи
соображений, использовавшихся во всех предыдущих случаях, следует, что
если некоторое инвариантное подпространство в подпространстве X (/, Г)
содержит какую-либо функцию (многочлен), то оно содержит и любой одночлен
фп"гт', входящий в этот многочлен с ненулевым коэффициентом. Далее мы
находим, что
L+ + iK~ = -2 ix^^, L~ + iK+ - -2ix2dXs,
L~ - iK+ = 2 ixd^s, L+ -iK~ - 2 ix2d-Xt. Следовательно,
L+ +iK~ опускает m, L~ + iK+ поднимает m,
L~-iK+ опускает m', L+ - iK~ поднимает m'
в том смысле, что функция (L+ -f- iK~) tyimi'm- пропорциональна функции
ф/ I'm' и т. д. Это значит, что для данных I и /' все tyimi'm' сцеплены
при помощи инфинитезимальных операторов. Таким образом, мы заключаем, что
если некоторое инвариантное подпространство содержит любую функцию
(многочлен) в X (/, 1'),
то оно содержит и все подпространство X (/, /'). Иначе говоря,
представление р, суженное до Х(1,Г), неприводимо; такие представления
обозначаются через ра¦ г> и являются единственно возможными
конечномерными неприводимыми представлениями группы SL(2, С).
22.13. СПИНОРЫ
Спиноры представляют собой совокупности величин, которые связаны с
группами SU (2) и SL(2, С) подобно тому, как тензоры (включая векторы и
скаляры) доквантовой физики связаны с физическими группами S0(3) и Sр.
Законы преобразований спиноров дают некоторые (вообще говоря, приводимые)
представления групп SU (2) и SL (2, С) и, следовательно, некоторые
однозначные или двузначные представления указанных физических групп. Те
из спиноров, законы преобразований которых дают обычные или однозначные
представления физических групп, являются на самом деле тензорами в
несколько измененном виде (см. ниже упражнение 1); в этом смысле тензоры
являются частным случаем спиноров.
22.13. Спиноры
113
Для того чтобы описать некий тензор, совокупность величин (скажем,
Ти,Т1г, . . Т44) связывают с каждой системой координат,
и тогда соотношения между этими совокупностями для различных систем
координат образуют законы преобразований. Коль скоро первоначальная
система координат задана, это эквивалентно соответствию такой
совокупности величин каждому элементу группы вращений или группы Лоренца;
тогда совокупности, соответствующие другим системам координат,
определяются законами преобразований. В случае спиноров совокупность
величин для первоначальной системы координат сопоставляется с каждым
элементом группы SU (2) или SL(2, С), и это приводит к соответствию
каждой физической системе координат двух совокупностей, отличающихся,
однако, лишь фазой (фактически только знаком). Но, поскольку фазы (в
частности, знаки) несущественны с физической точки зрения, мы свободно
можем говорить о соответствии совокупности (системы) величин каждой
системе координат.
В таком случае спинор ранга 1 есть соответствие каждой системе координат
пары чисел |х и |2, причем такое, что при преобразовании Лоренца, которое
определяется элементом группы 5L(2, С)
Спиноры более высокого ранга определяются совершенно аналогично тензорам:
спинор ранга г есть такое соответствие каждой системе координат системы
2Г комплексных чисел ?а,... а (каждый индекс принимает значения 1 и 2),
при котором эти числа преобразуются согласно закону
Пока мы ограничиваемся лишь вращениями осей х, у, г, а не
преобразованиями Лоренца, т. е. лишь группой SU (2), это все, что можно
сказать. Однако из предыдущих параграфов ясно, что при рассмотрении
представлений группы SL (2, С) матрица m играет самостоятельную роль по
