Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 50

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 162 >> Следующая

вращений SO (3). Для того чтобы они удовлетворяли данному выше
определению, их нужно ограничить открытым шаром 6* + 0i/ + 0z < п.
Введите дополнительные системы координат так, чтобы все вместе они
покрывали многообразие S0(3). (Общий метод построения таких систем для
групп описан в гл. 27.)
23.5. КРИВЫЕ И ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ
Предположим, что f (Р) - вещественно- или комплекснозначная функция,
определенная на всех точках Р многообразия М. Для любой карты {U, ф, N)
можно определить функцию /(х) = = }(х1, ..., хп) путем задания равенств }
(x)=f (Р), х=ц> (Р) для всех точек х открытого множества N, в которое
отображением Р -х = ф(Р) переводится ?7; поскольку эти соотношения
взаимно однозначны, /(...) определена корректно. Если получающаяся так
функция /(...) непрерывна при любом выборе карты {?/, ф, N) на М, то /
(Р) называется непрерывной функцией на М\ если М есть С*-многообразие, а
/ - функции класса С
124
Гл. 23. Элементарная теория многообразий
то f (Р) называется функцией класса Сг на М. Ясно, что на М не может быть
функций класса Сг с г > k (кроме константы), потому что допустимые
преобразования координат могут исключить существование производных
порядка г > k. Непрерывность, или Сг-гладкость, функций может быть
определена так же и на части М.
Если Р (t), где t - вещественная переменная, - однопараметрическое
множество точек на М и если для любой карты {U, ф, функции x'(t),
определенные равенством
х (0 = ф (/>(/",
оказываются непрерывными для всех t, на которых они определены, то Р (t)
называется кривой или путем на М. Если функции х' (t) принадлежат классу
Сг, то и про кривую Р (t) говорят, что она Сг-гладкая. Если t изменяется
на интервале [/t, J2], то функция Р (t) описывает путь Ч§, идущий из
начальной точки Р (ty) до конечной точки P{t2). Предполагается, что все
кривые либо кусочно дифференцируемы, либо имеют не более чем изломы (т.
е. так выглядят их образы в любой карте), если особо не указано нечто
иное. Для обеспечения этого предполагается также, что все рассматриваемые
многообразия являются хотя бы (^-гладкими.
Непрерывность и Сг-дифференцируемость функций двух или более переменных
P(t, s, ...) определяется аналогично.
23.6. СВЯЗНОСТЬ. КОМПОНЕНТЫ МНОГООБРАЗИЯ
Многообразие М называется линейно связным, если для любых двух точек Р1 и
Р, из М найдется путь, соединяющий Р, и Р2.
Если М не только линейно связно, но и, кроме того, любую из двух
произвольных кривых и #2, соединяющих любые две точки Рг и Р2, можно
непрерывно деформировать на М в другую (т. е. если найдется такая
непрерывная функция P(t, s), что для каждого s, скажем из интервала [0,
1], P(t, s) описывает при изменении t путь из Рг в Р2 и этот путь
совпадает при s = О с Ifp а при s = 1 с #а), то М называется односвязным
Точка Р многообразия Ж называется предельной точкой множества Sa М, если
любая ее сколь угодно малая окрестность (открытое множество, содержащее
Р) включает точки из множества S. Если S содержит все свои предельные
точки, то оно называется замкнутым. Дополнение замкнутого множества
является, очевидно, открытым, и обратно.
Топологи обычно дают другое определение связности, а именно говорят, что
топологическое пространство связно, если его нельзя представить в виде
51и52, где Sy и S2-непустые непересекаю. щиеся (51Л52 = 0) открытые
множества (или, что эквивалентно,
23.7. Гомотопные пути. Фундаментальная группа
125
непустые непересекающиеся замкнутые множества). Любое линейно связное
пространство связно (докажите это). Для многообразий верно и обратное,
так что для них эти два понятия совпадают.
Компонентой многообразия М называют максимальное связное подмножество М,
т. е. для данной точки Ра из М множество
S - {P: Р можно соединить с Р0 некоторым путем}
является компонентой М. В § 19.5 было показано, что многообразие группы О
(3) имеет две компоненты.
Как подмножество М компонента S является одновременно и открытым, и
замкнутым множеством. С одной стороны, 5 открыто, потому что (1) любая
точка Р из 5 есть внутренняя точка М (все точки М внутренние) и (2)
окрестность Р, являющаяся образом некоторого шара в R" (в некоторой
карте, содержащей Р), состоит, очевидно, из тех точек М, которые можно
соединить с Р, поэтому вся эта окрестность содержится в S. С другой
стороны, S замкнуто, потому что если Р - предельная точка
последовательности точек из S, то Р можно соединить (путем) с любой
точкой, лежащей в аналогичной окрестности Р, и поэтому ее можно соединить
с точками последовательности. Обратно, если множество S связно и
одновременно и открыто, и замкнуто, то оно является максимальным связным
множеством, т. е. компонентой М; этот факт будет использован в теории
групп Ли.
Предостережение. Понятие открытого в М множества не имеет никакого
отношения к возможному вложению М в пространство большей размерности.
Например, если единичная сфера *2 + у2 + z2 = 1 рассматривается как
двумерное многообразие М, то полярная шапка, т. е. множество точек,
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed