Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
где J, j — эйлеровые координаты. Уравнение движения, естественно, имеет прежний вид:
R2 0
(pu + mu)R - (g 1 + g2)Ru = — • (g 1 + g2 + g3) - s0(t), (27)
где g1, g2 определяются равенствами (22), а g3 — равенствами (24), (25), в которых J, j необходимо заменить выражениями (26). Кроме этого, должны выполняться условия несжимаемости:
ЯР Р
u(a, b, t) cosjdadb = 0, 0 < a < 2p; - — < b ? 2,
a, p
а также начальные условия или условия периодичности (склейки) для стационарных решений.
2. Стационарные решения. Будем искать решения в следующем виде:
u(a, b, t) = u(a + wkt, b) = u(J, j). (28)
Производную по аргументу J обозначим штрихом. Перейдем к безразмерным переменным (12). Тогда задача (27), (28) сведется к решению следующего уравнения:
u" + mu' + (1 - Xcos2 j) u = -s0 + 2[-1 + Xcos2 j + k' + (29)
+f"cos2j + h'cos2 jcos2J - G sin2jcosJ], где, как и прежде,
^ g 0 w 9
1 = —7, x = —.
Rw k w k
Безразмерные постоянные kfh', G равны правым частям выражений (25), отнесенным к pw2, напряжение отнесено к pR2w2, смещение — к R. Величина J является безразмерной и одновременно играет роль полярного угла и времени.
Для стационарного решения начальные условия фактически заменяются следующими условиями склейки:
u(o, j) ° u(2p, j), u" (o, j) ° u" (2p, j).
Уравнение (29) является линейным. Его решение никаких трудностей не представляет [267, 268]:
2 0 -1 + X cos j + к'+f' cos2j - 2ст U = 2 +
2 (1 - X cos j)
h'cos2j
cos(2J - к) - (30)
2^/(1 - Xcos2 j - 4)2 + 4m2 G sin2j
2^/(1 - x cos2 j -1)2 + m2
cos(J - 5),
где
2m
*8K = ^-------* 2 , , tg5 = -', t 2,
1 - Xcos j - 4 1 - Xcos j - 1
Полученное решение позволяет выявить роль наклона оси вращения тела к плоскости его орбиты. В решении фигурируют четыре параметра, каждый из которых зависит от угла Y — угла наклона оси вращения тела. Вспомним, что для приливных сил Г1 = 2Г, Г2 = Г3 = -Г и рассмотрим подробнее именно этот случай. Из (25) следует, что
4к'= -Г(1 - 3sin2Y),
4f '= 3Г(1 - 3sin2 Y),
2h'= 3Г(1 - 3sin2Y),
4G = 3Г sin2 2Y.
Отсюда видно, что случай Y = 90° является особым. Значению
Y = 90° соответствует тело, ось вращения которого направлена строго к возмущающей массе. В этом случае h = 0, G = 0 и решение от угла J становится независимым. Тело под действием приливных, гравитационных и центробежных сил приобретает определенную осесимметричную форму. Причем в процессе вращения форма переходит сама в себя, так что деформации тела не происходит. Тело вращается как жесткое целое.
Можно также отметить случай, когда sin2 Y = 1/3, Y = 35,3° и к' = f' = 0. Здесь решение упрощается, но принципиально от общего случая оно, однако, ничем не отличается.
Качественно новые черты, связанные с неортогональностью оси, дает только последнее слагаемое в (30). Во-первых, его появление связано исключительно с неортогональностью оси вращения: при Y = 0, постоянная G также равна нулю. Во-вторых, только это
слагаемое нечетно по углу J. Все остальные слагаемые в (30) являются четными. Следовательно, материальные элементы тела с координатами (J, j) и (J, - j) на приливные силы реагируют по-разному. Это приводит к несимметрии Северного и Южного полушарий. В-третьих, только в этом слагаемом содержится гармоника с периодом по j равным 2р. (В остальных слагаемых период равен p.) Это значит, что при замене j на (j + p) знак слагаемого также меняется, поэтому появляется вклад в несимметрию формы и по отношению к плоскостям, проходящим через ось вращения тела. Очевидно также, что при одновременной замене j на (-j) и J на (J + р) слагаемое не меняется. Ранее при записи динамического уравнения угол наклона
Y предполагался постоянным. В действительности этот угол менялся, причем весьма сложным образом, поэтому запись (27) означает только, что производными Y по сравнению с величиной wk можно везде пренебречь. Отметим, однако, что это ограничение непринципиально. Рассматриваемая модель настолько проста (фактически, это одномерная модель), что учет многих факторов такого типа к большим трудностям не приводит.
Наличие вязкости приведет к тому, что форма тела к изменению угла Y будет приспосабливаться не мгновенно. В случае необходимости в рамках рассмотренной модели все запаздывания по изменению угла Y также можно рассчитать. Точно так же можно учесть и движение полюсов относительно поверхности Земли.
