Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
гонально осям 0х и 0z" Ось 0у' направим вдоль 0у, ось 0z ортогональна 0у и 0х. Угол между осями 0х и 0х" обозначим через Y. Отметим, что в общем случае ось 0у в плоскости орбиты не лежит. Движение по орбите проявляется в изменении угла Y от значения Ymax до -Ymax. Ymax — известно, прецессия и нутация исключены. Примем, что обе системы координат являются инерциальными, так что угол j можно рассматривать как параметр задачи. С координатами 0х"у'z" свяжем сферические координаты (r, u, j).
18.1. Ось вращения тела ортогональна к плоскости его орбиты
1. Постановка задачи. Вначале ограничимся наиболее простым случаем, когда ось вращения тела ортогональна плоскости его орбиты. В этом случае системы координат 0xyz и 0х"у'z" совпадают между собой и угол Y ° 0.
Возьмем некоторый канал и рассмотрим динамику движения материала в нем. Положение канала в пространстве характеризуется двумя параметрами. В качестве таких параметров выберем два угла: J и ф. Пусть
р р
0 < J < 2р; --< j < —.
22
Связь с декартовыми координатами дается следующими формулами:
х = r cos ф cos J,
у = r cos j sinJ, (1)
z = r sin j.
Указанные углы J и j являются эйлеровыми координатами канала. В качестве лангранжевых координат возьмем значения тех же углов в начальной момент времени: а = J(0), b = j (0).
Уравнения движения материала в канале (a, b) имеют прежний вид — (4) § 16. Не меняется также и упрощенное уравнение движения (8) § 16:
(ри + ци)R - gRu - 2 R2 + s0(t) = 0. (2)
Уравнение записано относительно функций и (a, b, t) и s 0(t). Здесь a, b — параметры, t — независимая переменная, s0(t) — неизвестная функция, которая определяется из условия сохранения объема тела в целом:
ЯР р
u (a, b, t)cos j dad b = 0, 0 < a < 2p; - — < b < 2. (3)
(a, b) 22
Для сходящихся каналов условие сохранения объема имеет вид
,3 Л
cos jjJ = 0.
2
u~
При | u |<< 1 это условие совпадает с (3).
Вследствие вращения тела фиксированный канал (a, b) переносится в пространстве. Это вызывает изменения массовых сил, действующих на элемент среды, расположенной в канале. Указанные силы нетрудно определить.
Прежде всего о силах самогравитации. В уравнениях самограви-тация представлена компонентом силы g 1. Примем для g 1 прежнее выражение:
g 0 /л\
g 1 = -PR• (4)
В действительности, гравитационный потенциал зависит от формы, которую принимает тело в процессе деформирования. Представление (4) означает, что изменение не учитывается. Здесь потенциал берется для тела в форме шара, плотность которого с глубиной не меняется.
По-видимому, эти упрощения вполне оправданны, однако не
ссылками на то, что указанные эффекты пренебрежимо малы
(при большом искажении формы это не так), а общей точностью рассуждений, принятой в построенной модели. Если в начальных посылках заложены весьма грубые гипотезы, то нет смысла учитывать более тонкие эффекты в дальнейших построениях. Хотя следует отметить, что учет неоднородности по глубине в рамках предложенной и по существу одномерной модели никаких трудностей не представляет. Учет изменения потенциала сложнее, но также возможен.
Подсчитаем теперь интенсивность центробежной силы. Опыт решения плоской задачи показал, что роль вращения тела неоднозначна: с одной стороны, динамическое проявление вращения играет дестабилизирующую роль, с другой — чисто кинематическое его проявление может приводить к стабилизации. Поэтому удобно в динамических членах скорость вращения снабдить индексом «3», а в кинематических — индексом «k». Интенсивность центробежной силы равна pw ^cosj. Проекция ее на ось равна
22 g 2 = pw 9cos j.
Займемся теперь подсчетом приливной составляющей объемной силы. Для трехмерного тела компоненты приливной силы пропорциональны декартовым координатам точки:
{G!X, Г2у, Г3z}.
Единичный вектор вдоль оси канала равен
{x, у, z}/r, r = ^x 2 + у2 + z2.
Отсюда проекция приливной силы на ось канала равна
(Г1X2 + Г2 у2 + Г3 z 2) / r.
Следовательно,
у 3 = (Г1 x 2 + Г2 у 2 + Г3 z 2 )/r2, (5)
где (см. гл. 1) Г1 = 2Г, Г2 = -Г, Г3 = -Г, (6)
где Г — известная величина, зависящая от возмущающей массы.
Предположим теперь, что тело вращается с известной и постоянной угловой скоростью wk. Это означает, что задачи о приливном деформировании тела и о вековом замедлении его вращения можно считать не связанными между собой. Тогда для канала (a, b) имеет место следующий весьма простой закон его переноса в пространстве:
J = a + wkt, j = b. (7)
