Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
2. Замкнутая система уравнений. Обратимся к уравнению (2). Во втором слагаемом стоит коэффициент у, который состоит из трех частей: у 1, у 2, у 3. Величина у 1 равна весу слоя между деформированной и недеформированной поверхностями тела, у2, у3 — поправки веса на центробежную и приливную составляющие. Уравнение усложняется за счет последней поправки, так как она зависит от времени. Ею вполне можно пренебречь (как и в плоской задаче).
Таким образом, задача сводится к следующей: требуется найти функцию u(a, b, t), которая удовлетворяет уравнению
R2 0
(pu + mu)R - (у 1 + у2)Ru = ~2(у 1 + у2 + у3) - s0(t), (8)
где
g 0 2 2 2 у 1 = -р —; у2 = pw2 cos2 j; у 3 = k + f • cos2j + hcos2 jcos2J; (9)
R
J = a + wkt; j = b; 4k = Г1 + Г2 + 2Г3; 4f = Г1 + Г2 - 2Г3; 2h = Г1 - Г2
Последние выражения получены подстановкой (1) в (5). Функция u(a, b, t) должна удовлетворять следующим начальным условиям:
u(a, р, 0) = u0(a,b), u(a, b, 0) = v0(a, b),
а также условию сохранения объема всего тела
ЯР P
u(a, b, t) cosjdadb = 0, 0 < a < 2p; - — < b < (10)
a, b 2 2
Именно в этом условии содержится информация о том, что рассматривается динамика трехмерного тела, а не отдельного канала.
3. Стационарные решения. Будем искать решение уравнения в следующем:
u(a, b, t) = u(a + юkt, j). (11)
Производную по первому аргументу обозначим штрихом. Тогда, переходя в уравнении (8) к безмерным переменным
u m 0 s0
~ = “, h = —; ~ = “2—r;
R рю R2 рю2
(12)
l = g02 , к = —2 к; / = —2 /, ~ = —2 й; Rw рю рю рю
получим:
u" + m u' + (1 - Xcos2 j) u =
(13)
= - s0 + — (-1 + Xcos2 j + к + /cos2j + frcos2 jcos2J),
где 1 = ТТ, X = ю 9 / ю к •
Rw к
Знаки «тильда» везде опущены. Решение уравнения (13) имеет виц
-1 + Ecos2 j + /cos2j + к - 2s0
u =-----------------------2-------------+ Acos(2J - к), (14)
2(1 - Ecos j)
ftcos2j 2m
где A = -i ,.I=TT, tgK = , - tc„.l .. (15)
2^/(1 - cos2 j - 4)2 + 4m 2 1 - Ecos j - 4
Решение (14), (15) показывает, что сечения тела различными коническими поверхностями j = const имеют различные вязкие запаздывания по фазе. Это создает дополнительное искажение формы тела в виде скручивания вокруг оси вращения. Причем происхожде-
ние этого эффекта связано только с центробежной силой, действующей на слой материала, заключенный между деформированной и недеформированной поверхностями тела (слагаемое Xcos2 j в левой части уравнения (13)).
Рассмотрим подробнее случай, когда указанным эффектом можно пренебречь. Для этого необходимо исключить динамическую роль вращения для слоя, расположенного между деформированной и недеформированной поверхностями. Это значит, что в левой части уравнения (13) можно положить X = 0, а в правой части X = 1. (Основной вклад центробежных сил по-прежнему учитывается.) В результате придем к следующему решению:
hcos2 j f + 0,5 к - 2ст0 -1 + 0,5
u=—, , ==¦ cos(2J-к) + ^г— cos2 j +----------—-----------, (16)
2^(1 - 4)2 + 4m 2 21 21
2m
где tgK = 1-4 ¦
Это решение определяет стационарную форму тела:
r = 1 + u(J, j, s0). (17)
Уравнению (17) удобно придать следующую форму:
r = r / M= 1 + m cos2 j cos29 + n cos2j, (18)
где
к - 2s0 + 1 + 0,5 f + 0,5
9 = J - к2; M =------------------, n =--------0--------,
21 к - 2s0 + 1 + 0,5
1 h
(19)
m=
к - 2ст + 1 + °,5 ^(1 - 4)2 + 4m
4. Исследование равновесных форм поверхности тела. Уравнение, которое описывает форму тела, представлено в замкнутом и весьма простом виде. Его исследование никаких трудностей не представляет. Прежде всего запишем это уравнение в различных видах:
r = (1 - n) + (2n - m) cos2 j + 2mcos2 jcos29,
f m if m I
r = 11 + — cos291 + I n + — cos291 cos2 j, (20)
r = (1 + ncos2j) + mcos2 j cos29.
Параметры m и n будем рассматривать как параметры нагружения. В исходном состоянии m = 0, n = 0 и тело имеет форму шара. Увели-
