Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
r = 1 + Acos29.
(17)
(18)
Уравнение (15), включая различные предельные случаи, возникает во многих областях и исследовано, по-видимому, исчерпывающе [267, 268]. Ниже остается только учесть специфику поставленной задачи. Обратимся к уравнению (8). В нем при переходе к безразмерным переменным в качестве характерного напряжения бралась величина R2рю2. Для исследования предельного случаями ю ® 0 этот масштаб неудобен. Поэтому будем исходить непосредственно из уравнения (8). Для упрощения разделим обе части на рR2 и величины u/ R, s/ рR2, m/ р обозначим как u и s, m- Тогда
u + m u + |R - ю20 u = 2 ^-R + ю2 + /1 + /2cos2J0 - s0(t), (19)
Г1 + Г2 г Г1 - Г2
где h = /2 = 2 ¦
Из структуры коэффициента при восстанавливающей силе видно, что самогравитация играет роль стабилизирующего фактора, а центробежная сила — дестабилизирующего.
Легко понять, что стабилизирующая роль самогравитации связана с тем, что в рассмотренной постановке задачи краевые условия брались на деформированной поверхности тела, а не сносились на поверхность тела до деформации. Роль самогравитации становится очевидной, если вращение тела вообще исключить. Тогда приливные силы будут компенсироваться исключительно силами самогра-витации. В этом случае
1 fg0 . Л ______, . Rh __2
J = a, s (t) = - —| — + /1 I = const и u = — — cos2a.
2 VR 0 2 g 0
Посмотрим теперь, что будет, если силы самогравитации полностью исключить. Если при этом тело не вращается, то J = a ив поле приливных сил тело будет всегда неустойчивым. Это более или менее очевидный вывод, так как в данном случае он связан только реологией тела. Для вязкого тела даже малые приливные силы, если они действуют достаточно долго, могут привести к большим деформациям и разрушению:
f 1 /2 2 u
u = | — — cos a 11.
V m 2
Таким образом, приливные силы необходимо отнести к дестабилизирующим факторам.
Рассмотрим теперь роль вращения. Было показано, что центробежные силы играют роль дестабилизирующего фактора. Однако
чисто кинематическое следствие вращения можно отнести к стабилизирующим факторам. Действительно, исключим из уравнения (19) динамическое проявление вращения (т. е. положим у 2 = 0) и исключим также силы самогравитации (у 1 = 0). При этом учтем изменение ориентации каналов вследствие вращения тела. В результате придем к уравнению:
f2 2
u + m u = — cos2 (a + wt).
Отсюда следует, что если вращение происходит достаточно быстро, то реологическая неустойчивость этим вращением подавляется. Механизм подавления неустойчивости объясняется следующим образом. Поле приливных сил таково, что в направлении к возмущающей массе происходит растяжение тела, а в ортогональных направлениях — его сжатие. Возьмем некоторый линейный элемент тела. Предположим, что вращения нет и поэтому ориентация элемента относительно приливных сил неизменна. Если элемент находится в зоне растяжения, то вследствие вязкости он будет растягиваться вплоть до разрушения тела. То же самое произойдет и в зоне сжатия. (Самогравитация здесь специально исключена.)
Вращение тела может изменить эту картину качественно. Действительно, поворот тела приводит к тому, что линейные элементы, которые были в зоне растяжения, перемещаются в зону сжатия, затем опять в зону растяжения и т. д., поэтому форма тела в целом может стабилизироваться только за счет этого фактора.
Теперь о роли вязкости. Она очевидна. Вязкость, безусловно, является стабилизирующим фактором. Кроме того, она приводит к сдвигу по фазе между действием приливной силы и кинематической реакции тела. Если в уравнении (2.19) допустить m ® 0, то придем к следующему решению:
2-----------------b u = Acos2J, A = —- , 1 > 5.
2(1 - 5)
Вдали от резонанса форма тела устойчива и выпукла. Однако при подходе к резонансу появляется вогнутость и тело начинает разделяться на две части.
§ 18. Пространственная задача
Обычно переход от плоской к трехмерной постановке усложняет задачу принципиально. В рамках рассматриваемой модели это не так.
Последнее связано с тем, что и двух- и трехмерная задача фактически сводятся к одномерной. По-видимому, это предельно упро-
Рис. 18.1.
щенная постановка. Поэтому и при оценке действующих сил есть смысл ограничиться только самыми грубыми приближениями. Итак, пусть тело обращается вокруг одной возмущающей массы и ось его вращения ориентирована вдоль некоторого фиксированного (и произвольного) направления в пространстве. Изначально в рассматриваемой ситуации выделены одна точка и два направления. Точка — это центр деформируемого тела, одно направление — это направление от центра к возмущающей массе, второе направление — это ось, вокруг которой вращается тело. Введем две декартовые системы координат 0xyz и 0х'y'z' (рис. 18.1). Начала обеих систем поместим в центр тела, ось 0х направим к возмущающей массе M. Пользуясь приемом [142], разделим возмущающую массу на две равные части и поместим их, как показано на рисунке. Теперь обе массы M/2 и центр тела можно считать неподвижными, так что динамику движения тела по орбите (вокруг барицентра) можно исключить. Направим ось 0z' вдоль оси вращения тела, а ось координат 0у — орто-
