Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
В настоящее время накоплено достаточно много фактов, которые показывают, что с течением времени скорость вращения Земли уменьшается. Это происходит по двум основным причинам. Первая связана с диссипацией механической энергии в процессе приливного деформирования Земли. Вторая причина замедления связана с формой, которую принимает Земля вследствие приливного деформирования. Форма Земли и ее ориентация относительно направления приливных сил таковы, что возникает момент, тормозящий вращение Земли. Таким образом, имеем некоторый «начальный» импульс планеты, который постепенно растрачивается на преодоление приливного трения. Это и есть одно из проявлений собственной жизни планеты, ее эволюции во времени.
Динамическая модель позволяет рассчитать вековое замедление вращения. Это можно сделать без усложнения поставленной выше задачи. Действительно, наблюдения и оценки показывают, что для Земли первое слагаемое в (4) (вековое замедление при разумных промежутках времени t) много меньше второго. Кроме того, динамический вклад этого замедления, равный W (t) • R, на фоне других сил, включая даже приливные, ничтожен. Поэтому задачи о приливном деформировании и о замедлении вращения планеты можно рассматривать как не связанные между собой.
Для решения первой задачи положим w = const. Это — кинематическая постановка. Такая постановка, строго говоря, предполагает, что к планете приложен некоторый внешний момент, который поддерживает скорость ее вращения постоянной. После подсчета этого момента из условия сохранения энергии можно будет определить вековое замедление вращения. Нетрудно рассчитать диапазон, когда динамика, связанная с замедлением вращения, становится заметной. Это, однако, весьма экзотическая ситуация и ее из анализа исключим. Ниже везде ограничимся чисто кинематической постановкой, когда скорость вращения w заранее задана и поддерживается постоянной.
Итак, мы пришли к уравнению (8) § 17 относительно функции u (a, t). Здесь a — параметр канала, t — время. Канал вращается
вместе с планетой в поле действия приливных сил (собственно совокупность каналов и представляет собой планету). Закон вращения мы предположили заданным. Для плоского случая он имеет вид (3), где ю = const. Тогда уравнение (8) § 17 опишет движения материала в канале a. При этом коэффициент в этом уравнении необходимо рассматривать как функции времени, где J задано равенством (3).
Теперь можно сделать еще одно упрощение. Как отмечалось, восстанавливающая сила равна весу слоя материала, заключенного между деформированной и недеформированной поверхностями:
уRu = (у 1 + у 2 + у 3) Ru = ^-р R рю2 + r1cos2J + r2sin2jj Ru.
Первое слагаемое, связанное с у 1, — это вес слоя. Слагаемые у2, у 3 играют роль поправки на центробежную и приливную силы. При этом последняя нестационарна и много меньше веса. Кроме того, величина | и | << R. Поэтому поправкой на прилив пренебрежем. По этой же причине (R >> | и |) составляющую прилива в слагаемом уR2/2 сохраним. В результате придем к следующему уравнению:
R 2
(pU + mи)R - (у 1 + у2)Ru - у— + s0(t) = 0, (5)
где u = u(a, t), a — параметр. Теперь информация о том, что все
каналы связаны между собой, содержится только в одном условии:
последнее слагаемое в уравнении не имеет аргумента a. Следовательно, во всех каналах давление в центре тела будет одним и тем же.
Далее, материал во всех каналах принят несжимаемым. Поэтому распределение смещений u(a, t) должно быть таким, чтобы общий объем материала во всех каналах был неизменным:
2р
J u(a, t) da = 0. (6)
0
Произвол в выборе давления s0 (t) позволяет удовлетворить этому условию. Выше предполагалось, что все каналы имеют цилиндрическую форму. С другой стороны, естественно рассмотреть все тело как совокупность сходящихся к центру каналов. Ясно, что для тела в форме шара точно удовлетворить указанным двум условиям невозможно. Однако это обстоятельство принципиального значения не имеет. Замена цилиндрических каналов на радиальные принципи-
альных трудностей не представляет. Условие несжимаемости в этом случае примет вид
2р ( 2 1
Л 1 u2
+ ----
2
j\Ru
dJ = 0. (7)
При | u |<< R это условие совпадает с (6).
2. Замкнутая система уравнений. Подведем итог. Формально плоская задача свелась к следующей. Требуется найти функцию u(a, t) при 0 < a < 2p, t > 0, удовлетворяющую уравнению
R 2
(pu + mu)R - (g 1 + g2)Ru - g — + s(t) = 0, (8)
где g = g 1 + g2 + g3; g 1 = -pr; g2 = pw ; g3 = ^cos J + ^sin J;
J = a + wt, (9)
и следующим условиям:
u(0, t) ° u(2p, t); u (0, t) ° u (2p, t) (10)
