Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
либо
u(a, 0) = u0(a), u(a, 0) = v0(a),
а также условию
2p
J u (a, t) da = 0.
0
Функции u0(a), v 0(a) и величина w = const заданы, функция s0(t) определяется в процессе решения задачи. Смысл остальных обозначений указан в предыдущих разделах. Таким образом, задача свелась к исследованию континуума связанных между собой осцилляторов. На каждый из осцилляторов действуют вынуждающая и восстанавливающая силы. В общем случае есть также вязкое сопротивление и диссипация энергии.
3. Стационарные решения. Перейдем теперь к построению решения. Пусть заданы некоторые начальные данные и скорость вращения тела. Зафиксируем условия самогравитации и приливные силы. Возможны два случая. Первый — у тела при заданных внешних силах нет устойчивого состояния. Тогда из начального состояния тело будет эволюционировать до тех пор, пока решение имеет смысл. Например, до значения u = -R (в этом случае необходимо учесть, что условие | u |<< R уже не выполняется). Фактически это означает разрушение тела. Второй случай более интересен. Он реализуется, когда
тело эволюционирует к некоторому устойчивому состоянию. Сам переход к этому состоянию можно не рассматривать, так как он связан с начальными данными, а для небесного тела начальных данных, по крайней мере в традиционном смысле, не существует. Поэтому будем строить сразу стационарные решения, которые от начальных условий вообще не зависят.
Рассмотрим весь процесс с точки зрения наблюдателя, связанного с системой координат 0ху (т. е. из космоса). В этой системе внешняя форма планеты должна оставаться неизменной. Это означает, что от аргументов а и t смещение и должно зависеть так, чтобы при J = const величина смещения и была постоянной. Поэтому должно быть верно представление
и (a, t) = и (a + wt).
(11)
В этом случае величина давления s0 от времени зависеть уже не должна: s0(t) = s0 = const. Подставим (2.11) в (2.8) и перейдем к безразмерным переменным:
0
m
~0 =
а—
Pw 1 Г1 + Г2
R2pw2
Л _ g0 ,
Rw ’
(12)
2
pw
2
b=
1 Г1 - Г2
pw
В результате получим
и" + ци' + (1 - 1)и = ^(-l + 1 + a + bcos2J) - s0.
(13)
Вместо начальных условий здесь имеем два условия склейки (10). Знаки «тильда» везде опускаются, штрих означает производную по J. Пусть 1 > 1. (В соответствии с определением (9), условие 1 > 1 означает, что центробежные силы остаются все время меньше сил самогравитации.)
Нетрудно понять, что условию (6) можно удовлетворить, если свободный член в правой части (13) приравнять нулю. Отсюда
s0 =
-1 + 1 + a
2
и
и'" + m и' + (1 - 1) и = ^ cos2J.
(14)
(15)
2
Решение уравнений этого типа хорошо изучено [267, 268]. В данном случае они имеют вид
u = Acos(2J - к),
Это решение дает следующий вид свободной поверхности тела: r = 1 + Acos(2J - к) или в координатах (r, 9), отклоненных от направления действия приливных сил, на угол к/2 —
Рассмотрим последовательность стационарных форм тела при постепенном увеличении параметра А от нуля. При малых А форма близка к кругу. При увеличении параметра А поверхность при 9 = p/2 уплощается, а затем становится вогнутой. С дальнейшим увеличением приливных сил перемычка утоньшается и в конце концов при А = 1 вырождается в точку — тело распадается на две части. Представляется весьма неожиданным, что такое сложное поведение описывается одним и тем же и таким простым уравнением. Последовательность форм тела напоминает овалы Кассини, а в критическом случае А = 1 — лемнискату Бернулли. Построенные выше решения имеют смысл только при А < 1. В размерных переменных это означает, что должно выполняться условие:
Строго говоря, уже при переходе тела к вогнутой форме в модели необходимо возвратиться к исходному уравнению (4) без упрощения.
4. Стабилизирующие и дестабилизирующие факторы. Перечислим факторы, которые учитываются в построенной модели: а) самогра-витация тела; б) вращение тела вокруг оси и центробежная сила; в) приливные силы; г) вязкое трение. Для Земли количественные оценки этих факторов вполне определены и имеют различные масштабы. Для других небесных тел соотношения между ними могут быть другими. Например, для двойных звезд приливные силы могут стать преобладающими. Для быстро вращающихся объектов возрастает роль центробежных сил. Более важным фактором является са-могравитация. В теоретических расчетах мы не связаны конкретными значениями параметров. Поэтому можно рассмотреть различные предельные случаи и выявить роль каждого из указанных факторов в отдельности.
A=-
(16)
