Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
сменялся сплошным спектром. Все эти изменения происходили при одном и том
же токе пучка (т. е. при одних и тех же флуктуациях в электронном
потоке), что также свидетельствует в пользу динамического происхождения
наблюдаемого стохастического режима.
В специальных расчетах и экспериментах [27] по исследованию процесса
установления колебаний в ЛОВ была зафиксирована четкая связь между
возникновением хаоса и появлением неустойчивости движения системы по
отношению к возмущению начальных условий. Как указано в гл. 22,
количественным выражением этой неустойчивости является существование
положительной энтропии Колмогорова (у аттрактора должен быть хотя бы один
положительный ляпуновский показатель). В [27] приведены согласующиеся
между собой оценки энтропии Колмогорова из расчетов и эксперимента;
показано, что степень неустойчивости движения на аттракторе возрастает с
увеличением параметра
Обработка полученной в численном эксперименте1 реализации выходного
сигнала ЛОВ показала, что наблюдаемому стохастическому ре-
экспериментах было также показано [25], что даже малые отражения от кон-
цов замедляющей системы ЛОВ приводят к следующим изменениям характера
автоколебании. У порога возникновения хаоса характер автоколебаний
определяется двумя существенными параметрами - током пучка и ускоряющим
напряжением. При этом обнаруживается типичная картина перехода к хаосу,
связанная с разрушением (через синхронизацию или стохастизацию)
квазипериодических движении. На плоскости параметров найдены характерные
для этого сценария зоны синхронизации - "языки Арнольда"; внутри этих
"языков" переход к хаосу осуществляется через бифуркации удвоения периода
синхронизованного движения.
506
Глава 23
жиму отвечает странный аттрактор конечной дробной размерности d\ в
частности, при if - 1/2-к было получено dx, 5,5.
В рассматриваемой системе (электронный пучок - обратная волна ЛОВ)
стохастическая модуляция может быть детально описана в рамках усредненных
уравнений, полученных из уравнений для поля и пучка [18, 30]. Как уже
отмечалось, эффективное взаимодействие пучка с полем обратной волны
возможно в случае, если какая-либо ее пространственная гармоника имеет
скорость, близкую к скорости электронов. Тогда, если поле этой гармоники
записать в виде
Е(х, t) = Re{?(x, t) ехр[Ш(? - x/v)\\,
где частота 12 определяется из условия синхронизма г;ф (ST) = Vo (vq -
скорость пучка), то для нормированной медленно изменяющейся амплитуды F ~
ё и для фазы в электрона относительно волны может быть получена система
уравнений
2тг
Щ- % = -%- / e~ie(a) rfa' f-f = -^2Re{Feie{a)) (23.1)
О
с граничными и начальными условиями
0И|*=о = "> 9в/дх\х=0 = 0, F\x=l = 0, F\t=0 = Fo(x). (23.2)
Эти уравнения, действительно, содержат лишь один параметр if - =
(Sll/v0)(IK/4U)1/3.
Как следует из численного анализа системы (23.1), (23.2). при 2,(К ^ if ^
2,9 устанавливается смодулированный режим; при if ^ 2,9 возникает
периодическая модуляция, после чего при Г? > Г?* процесс становится
непериодическим. Спектральная обработка реализации показывает, что спектр
мощности в режиме стохастической модуляции согласуется с наблюдаемым в
эксперименте; автокорреляционная функция этого процесса спадает
достаточно быстро.
В данном примере исследуемая модель, хотя и упрощена (за счет усреднения
по высокочастотным осцилляциям) по сравнению с походными уравнениями,
Однако сохраняет их основную особенность - бесконечное число степеней
свободы. Правда, при численном счете эта система заменяется
конечномерной, однако с достаточно большим числом мод1.
хЧисло степеней свободы, которое необходимо учитывать при построении мо-
23.3. Стохастическая модуляция
507
Когда речь идет об исследовании сложной динамики, возникающей в
результате развития вторичных неустойчивостей на фоне, например,
периодического движения, задача построения модовых моделей,
непосредственно следующих из исходных уравнений, чрезвычайно усложняется.
Здесь уже сама модель зачастую должна строиться с помощью вычислительной
машины. Развитие каких-либо качественных представлений и построение
теории на физическом уровне таким образом представляется затруднительным.
В подобных ситуациях весьма полезными оказываются чисто
феноменологические модели, основанные на элементарных физических
представлениях и эксперименте. Одну такую модель мы сейчас обсудим [19].
Она построена для описания возникновения хаотической модуляции вихрей
Тейлора в цилиндрическом течении Куэтта1.
В эксперименте наблюдалась следующая последовательность спектров мощности
течения при увеличении Re. При Re ^ 1200 реализуется течение, в котором
на фойе вихрей Тейлора возбуждены азимутальные волны (границы вихрей
изогнуты). Увеличение скорости вращения внутреннего цилиндра ведет к
серии последовательных усложнений спектра, и при Re и 1270 возникает
уширение пиков на спектре мощности, соответствующее хаотизации течения. С
ростом Re эти пики продолжают уширяться, и наконец спектр становится
