Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 924

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 918 919 920 921 922 923 < 924 > 925 926 927 928 929 930 .. 942 >> Следующая

точки уравнения (24.4), к которым интегральная кривая должна
приближаться, не пересекая прямых и - 0 и и = 1, т. е. не закручиваясь.
Но это значит, что для существования интегральных кривых
характеристическое уравнение для каждой из особых точек должно иметь
действительные корни. Если, как в [22], вблизи особой точки положить f(u)
= аи и и и ехр(р?), то характеристическое уравнение для точки (и = 0, W =
0) можно записать следующим образом:
р2 - (v/D)p + a/D = 0. (24.5)
Уравнение (24.5) имеет положительные корни при
v2 > 4D/'(0). (24.6)
(Предлагаем читателю самому найти и исследовать характеристическое
уравнение для точки и = 1, W = 0). Отсюда следует, что стационарная волна
может иметь скорость в интервале vmm $С v < оо, где минимальное значение
скорости определяется из (24.6) [етт = = 2(D/'(0))1/2]. Неустойчивость
исходного однородного состояния приводит к тому, что появляются скорости
v волн, большие vmin, а асимптотически устойчива только волна, движущаяся
со скоростью vmm.
При произвольных /(и) общего метода решения краевой задачи для (24.3)
нет, однако если /(и) - антисимметричный полином, то W = = ик( 1 - и)'.
Например, при f(u) = 2([и2(1 - и) - 7(1 - и)и\ (7, С, - константы;
функция начинается от нуля и при дальнейшем увеличении и становится
отрицательной, затем обращается снова в нуль, вновь становится
положительной, достигает максимума и наконец принимает нулевое значение
при и = 1 (кривая /2 на рис. 24.2а)), подставляя в (24.3) W = и(1 - и),
приходим к выводу, что имеется единственная скорость
V = (1 - 27HCD/2)1/2
(24.7)
24.2. Бегущие импульсы
519
распространения стационарной волны [23]. При и > 7 данное решение
описывает процесс возникновения нервных импульсов, "самовозгорание" и т.
п. Соответствующая решению фазовая траектория - сепаратриса - идет из
седла в седло (рис. 24.26).
24.2. Бегущие импульсы
Распространяющийся уединенный фронт - волна переключения - осуществляет
перевод среды из одного состояния в другое. После прохождения импульса
среда возвращается в исходное состояние. Для одномерных сред такому
импульсу соответствует (как и солито-ну) петля сепаратрисы в фазовом
пространстве системы, описывающей стационарные волны (рис. 24.26).
Приведем простой пример. В активной линии передачи с туннельными диодами
нестационарные процессы в одноволновом приближении описываются уравнением
du/dt = аи2 - и± и - v0du/dx + i>2u/dx2. (24.8)
Здесь предполагается, что рабочая точка туннельных диодов расположена на
максимуме вольт-амперной характеристики и эту характеристику можно
аппроксимировать параболической зависимостью. Отыскивая решения в виде
стационарных волн, зависящих лишь от бегущей координаты ? = х - vt,
получаем для них уравнение нелинейного осциллятора с трением:
U2d2u/dS2 + (v - vo )du/d? + au(u - vx/a) - 0. (24.9)
Отсюда сразу следует, что бегущие импульсы могут распространяться лишь со
скоростью линейных возмущений v = v0 (это следствие того, что мы
рассматриваем диссипативную среду без дисперсии). Решение,
соответствующее граничным условиям du/dx = 0 при х -> ±ос, имеет вид
солитона:
и(х, t) = (3^i/а) ch-2[^vx/2v2{х - и0?)]-
Это так называемый диссипативный солитон1. Диссипативные солитоны
наблюдаются и в двумерных неравновесных средах, например, на
'•Обратим внимание на то, что в рамках рассматриваемой модели диссипатив-
ный солитон неустойчив по отношению к возмущениям с ненулевым средним.
Его существование в реальной линии передачи с туннельными диодами
определяется тем, что поддержание постоянного смещения на диодах
запрещает возникновение подобных возмущений (см. [26]).
520
Глава 24
стекающей пленке вязкой жидкости. Для отклонения поверхности пленки от
невозмущенного уровня можно получить приближенное уравнение [24], которое
описывает изменение толщины пленки h, стекающей по плоскости, наклоненной
под углом а вдоль оси х:
Здесь ho - невозмущенная толщина пленки, Vo = h\gsm{a/2v) характеризует
невозмущенную скорость течения, и - коэффициент вязкости, Re = Voho/v -
число Рейнольдса, W = а/phlgsina, а - коэффициент поверхностного
натяжения. Это уравнение справедливо при h/h0 < 1 и Re • (ho/L) <V 1 (L -
характерный размер возмущения). Как видно, возмущения развиваются при Re
> 5ctga/4. Нелинейную стадию развития возмущения аналитически проследить
не удается. Численные решения показывают, что в рассматриваемой модели
существуют стационарные решения в виде одномерных солитонов, которые,
однако, неустойчивы и распадаются на подковообразные уединенные волны
(рис. 24.3). Именно такие солитоны и наблюдаются экспериментально на
стекающей пленке вязкой жидкости. Численное решение этого уравнения с
граничными условиями и - 0 при х -" ±оо представлено на рис. 24.3. Оно
имеет вид подковообразного солитона с осциллирующим передним фронтом и
спадающим задним.
Образования в виде бегущих импульсов типичны для многих активных среД с
восстановлением, т. е. сред, свойства проводимости ко-
Предыдущая << 1 .. 918 919 920 921 922 923 < 924 > 925 926 927 928 929 930 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed