Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 921

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 915 916 917 918 919 920 < 921 > 922 923 924 925 926 927 .. 942 >> Следующая

ния (23.4) описывают течение несжимаемой жидкости, а втором -
акустическое поле. Если Vi и v% одновременно не равны hj лю, но малы, то
взаимодействие акустического и гидродинамического полей скоростей слабое,
и его можно учесть методом последовательных приближений.
Ограничимся одной из простейших моделей гидродинамического течения -
периодической цепочкой точечных вихрей. Подобные цепочки моделируют
периодические распределения завихренности, возникающие в сдвиговых слоях
в результате развития неустойчивостей [21]. Такая цепочка в свою очередь
неустойчива, при этом наибольшим инкрементом обладают возмущения
удвоенного периода. Эти возмущения приводят к тому, что образуются две
цепочки, двигающиеся друг относительно друга. Воспользовавшись хорошо
известными результатами
510
Глава 23
теории точечных вихрей [22], можно получить уравнения, описывающие это
движение:
^ = -Я &Ъу . ^ = +Н-, sinx . (23.5)
ат ch у - cos х' ат сп у - cos х
Здесь мы перешли к безразмерным переменным х. у - (2тг/1)(ху'), которые
пропорциональны компонентам вектора, соединяющего выбранную пару вихрей
из двух цепочек, т = t ¦ 2Yiт/Н12, Г - интенсивность одного вихря, I -
период невозмущенной цепочки, Я - пока произвольный параметр.
Нелинейная система (23.5) - гамильтонова с интегралом ch. у - - cos ж =
const, и, следовательно, в ней возможны только простые движения.
Приравняв постоянную Я этому интегралу, движение одной дорожки в поле
другой (при Я = const) можно описать уравнением комплексного маятника
i:-fsin,z = 0, (23.6)
где z = х + iy. Для вывода этого уравнения следует умножить второе
уравнение (23.5) на i, продифференцировать оба уравнения по т и сложить.
Решение (23.6) записывается в виде
{2ат(#т/2 + 0о;2/Я), Я > 2,
2arcsm[Fsn(r + 0о)/2; Я/2], Я < 2, (23.7)
2 arcsinth(r + в0), Я = 2,
где am и sn - функции Якоби; фаза 0О = #о + определяется из начальных
условий; Я>2, Я < 2 и Я = 2 соответствуют движениям вне сепаратрисы,
внутри сепаратрисы и на сепаратрисе. Таким образом, рассматриваемое
сдвиговое течение в газе описывается вполне интегрируемой системой
уравнений и демонстрирует очень простую динамику - вихревые дорожки либо
крутятся относительно друг друга (взаимный захват), либо скользят в
противоположные стороны (при Я > 2) (фазовый портрет на рис. 23.8).
Учтем теперь слабое взаимодействие рассмотренных колебаний сдвигового
течения с распространяющимися нормально к слою сдвига акустическими
волнами. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда звуковую волну можно
считать гармонический и заданной: и = = уои0 sin(2ky - 2wt). Тогда в
приближении малости пространственного периода цепочки по сравнению с
длиной звуковой волны (kl 1)
23.4. Идеальные течения и турбулентность
511
Рис. 23.8. Случайное блуждание траектории истемы (23.8), (23.9) вблизи
сепаратрис; точки на секущей плоскости ху получены через период внешнего
поля
и малости амплитуды звуковой волны (М = u0/c < 1, с = ш/к - скорость
звука, М - число Маха) движение одной вихревой цепочки в поле другой
будет определяться еще и скоростью относительного движения цепочек в поле
акустической волны [23]:
dx = _н shy
dr ch у - cos х '
/ N (23'8)
А = н , ¦¦??"-- + гм^М-усо, (Ц^т
d.r chy - cosx il \ il j
где П = Гтг/Р. Итак, мы пришли к задаче о движения нелинейного
осциллятора (23.6), на который действует периодическое поле. Такие задачи
мы уже обсуждали (см. гл. 15 и 22) - в фазовом пространстве xyt подобных
систем возможно существование областей со сложным поведением траекторий.
Сложность движения в этих областях обычно связана с гомоклиническими
структурами (см. гл. 15). Существование гомоклинической структуры в нашем
случае может быть определено с помощью критерия Мельникова, т. е. из
условия знакопеременности
512
Глава 23
функции
ОО
Д(*о) / {u[x0(t-t0),yo(t-t0),t]V[x0(t-t0),yo{t-t0)]-
- ОО
- ОО
- v[x0(t - t0), y0(t - t0), t) U[x0(t - t0), y0{t - t0)]} dt,
где и, V, U, v - правые части системы (23.8), переписанной в виде
dx/dt = U(x, у) + у,и(х, у, t) = dip/ду + fm(x, у, t),
dy/dt = V(x, у) + fj,v(x, у, t) = -дгр/дх + y,v(x, у, t),
a xo(t -10), yo(t - to) - решение системы (23.8) при у, = 0,
соответствующее сепаратрисе Н = 2. После подстановки в A(t0) выражения
(23.7) и интегрирования находим (при не слишком больших аш/П)
Таким образом, в нашем случае функция A(t0) знакопеременная, и в фазовом
пространстве (23.8), (23.9) существует область со стохастическим
поведением. Ширина стохастического слоя (на секущей ху) определяется
величиной 6, которая максимальна при аш/Vt и 1,2 (вблизи седла размеры
стохастической области пропорциональны '/8 (рис. 23.8)).
В заключение этого раздела заметим, что в системе точечных вихрей,
моделирующей двумерное течение идеальной жидкости, стохас-тичность
возникает и при отсутствии внешних полей. Стохастизуется, например,
система уже из четырех вихрей, если их взаимное расположение
несимметрично [24].
ДЫ^Мо^сЬ-^соз
^y-ToJ = (50cos . (23.9)
Предыдущая << 1 .. 915 916 917 918 919 920 < 921 > 922 923 924 925 926 927 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed