Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 Напомним, что таким модам соответствуют мелкомасштабные пульсации.
23.2. Возникновение стохастических автоколебаний
497
ленных системах. По существу, окончательный ответ на вопрос может дать
только сравнение теории (в рамках которой такая собственная
стохастичность обнаруживается) с реальным экспериментом. Поскольку
собственная стохастичность возникает в результате вполне определенных
бифуркаций усложнения спектра, а в режиме установившейся стохастичности
индивидуальные реализации, близкие при t = 0, с ростом t экспоненциально
разбегаются, именно на эти моменты и следует обращать внимание в
экспериментах.
Мы сейчас опишем несколько экспериментов, демонстрирующих качественно
различные пути возникновения гидродинамической турбулентности, которые
соответствуют различным путям возникновения странных аттракторов,
обсуждавшихся нами в предыдущей главе.
Последовательность удвоений. На рис. 23.1 представлены спектры мощности
теплового потока в слое жидкого гелия, подогреваемом снизу [6].
При Ra > Rai возникала роликовая конвекция, затем при Ra > Ra2
устанавливался режим простои периодической модуляции теплового потока,
дальнейшее увеличение подогрева приводило к последовательной смене
режимов - в спектре появлялись субгармоники, кратные частоте
периодического движения: 1/2/, 1/4/ и т. д. (рис. 23.1а и б). Затем (при
Ra > Ra,^) спектр из дискретного становился сплошным, но в нем оставалось
большое число пиков на частотах mf/(2n). Эволюция этого спектра при
последующем увеличении Ra также происходила дискретными шагами.
Наблюдались обратные бифуркации удвоения - при каждой очередной
бифуркации число пиков умень-
Рис. 23.1. Спектр мощности теплового потока при конвекции в слое жидкого
гелия: а, б - удвоение периода при увеличении числа Рэлея до момента
перехода к турбулентной конвекции; в - шумовой спектр (за точкой
перехода)
498
Глава 23
шалось, а оставшиеся уширялись (пики в спектре исчезали тем быстрее по
Ra, чем выше был соответствующий им номер субгармоники). Пояснить
происхождение термина "обратная бифуркация удвоения" можно следующим
образом: после прохождения критической точки Ra^ в фазовом пространстве
исследуемой системы возникает аттрактор, который при Ra_2n > Raoo
располагается как бы на 2п витках "ленты", которая, непрерывно уширяясь
(таким образом реализуется экспоненциальная расходимость траекторий,
принадлежащих аттрактору), в некоторый момент времени складывается по
ширине вдвое (см. рис. 22.16) и замыкается на себя (таким образом
осуществляется возвращаемость). При Ra_2("_i) > Ra_2n число витков ленты
становится вдвое меньше, при Ra_2(n-2) > Ra-2(n-i) вчетверо меньше и т.
д., т. е. как бы "размытые циклы" удвоенного периода передают свою
устойчивость более чем вдвое размытым "циклам" вдвое меньшего периода.
Эти обратные бифуркации также обладают свойствами универсальности [7]:
(Ra-2" - Raoo ~ (4,669...)"".
Гидродинамическое течение лишь в весьма узкой области параметров сводится
к одномерному отображению в виде параболы. При изменении параметров
отображение часто усложняется или становится неодномерным (см. § 22.6).
Поэтому неудивительно, что в реальных течениях параллельно с цепочкой
бифуркаций удвоения одного периодического движения могут, например,
появляться и исчезать другие движения с несоизмеримым периодом. Подобную
возможность иллюстрирует рис. 23.2 [8], на котором представлен спектр
скорости конвективного течения в точке1. Рис. 23.2 а-г свидетельствуют о
возникновении турбулентной конвекции за счет последовательности удвоений
периодического движения периода /г-2 Режим существенно непериодической
конвекции представлен на рис. 23.2д (Ra/RaKp = 36,9). Нам сейчас особенно
интересен рис. 23.2е, на котором представлен спектр течения при том же
значении числа Рэлея, что и на рис. 23.2в (Ra/RaKp = 27,0), которое
возникло при других начальных условиях - при движении со
Различные динамические режимы при численном или лабораторном исследо-
вании конкретной системы удобно анализировать с помощью спектра
реализации (осциллограммы). Это удобство связано с тем, что изменения
характера движения, трудно уловимые на осциллограммах, например рождение
новой спектральной компоненты, переход от квазипериодического режима к
стохастическому и т. д., в спектральном представлении очевидны и легко
измеряемы. Чаще других используются энергетические спектры реализации, т.
е. квадрат модуля фурье-образа от и(?).
2Этот процесс прекрасно описывается теорией Фейгенбаума [7],
предсказывающей отношение спектральных интенсивностей гармоники и
субгармоники на уровне 8.2 дБ. Именно такое соотношение и наблюдается
экспериментально (рис. 23.2г).
23.2. Возникновение стохастических автоколебаний
499
P(f), Вт/Гц
/, Гц
Рис. 23.2. Удвоение периода и гистерезис, наблюдавшиеся при переходе к
турбулентности при термоконвекции в ячейке; спектры на рисунках е и в
получены при одинаковом числе Рэлея, но при различных начальных условиях;
