Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
0 - |/ю ctg а • Ah + ~h^WA2h = 0.
(24.10)
Рис. 24.3. Солитон на стекающей пленке жидкости [25]
24.3. Спиральные и цилиндрические волны. Ведущие центры
521
торых восстанавливаются после прохождения возбуждения спустя конечное
время, так называемое время рефрактерности. Весьма общей моделью таких
сред является двухкомпонентная модель:
du/dt = F(u, v) + DiAu. dv/dt = <p(u, v) + D2Av. (24.11)
Такие уравнения описывают, например, возбуждение сердечной мышцы (тогда и
- разность потенциалов на мембране клеток, a v - трансмембранная
проводимость) или эволюцию возмущений в нейронной сети, состоящей из
возбуждающих и тормозных клеток - нейронов [14].
Аналитическое исследование бегущих импульсов в рамках моделей типа
(24.11) удается лишь в отдельных случаях, в частности когда характерные
времена изменения переменных и и v существенно различны. При этом импульс
можно разбить на участки быстрого и медленного изменения п
воспользоваться для анализа методом разрывных колебаний (см. гл. 14).
Проиллюстрируем это на примере одномерной двухкомпонентной среды,
уравнения которой явно содержат малый параметр при производной:
fidu/dt = f(u, v) + d2u/dx2, dv/dt = g(u, v), fi <c 1. (24.12)
В области быстрого изменения переменных величину и можно считать
постоянной, т. е. области импульса, в которых происходит резкое изменение
и, описываются уравнением
du/dr = /(и) |"=COnst + d2u/dx2 , (24.13)
с которым мы встречались при анализе распространения фронта - волн
переключения (pir - t). Таким образом, при наличии малого параметра
бегущий импульс можно рассматривать как две распространяющиеся друг за
другом волны переключения. Переключением и управляет при этом медленно
изменяющаяся величина v - в одной области определения и происходит
прямое, а в другой - обратное переключение и. Для определения границ этих
областей необходимо конкретизировать вид функций f(u, v) и g(u, v) [15,
7]. В промежутке между передним ы задним фронтом импульса происходит
медленное изменение переменной v, за которым "следит" быстрая переменная
и.
24.3. Спиральные и цилиндрические волны.
Ведущие центры
Более или менее подробно аналитически удается исследовать лишь
сравнительно простые явления самоорганизации, которые описывают-
522
Глава 24
ся, как правило, автомодельными решениями уравнения (24.1)1. Детальный же
анализ большинства явлений требует привлечения ЭВМ, причем в численном
эксперименте зачастую наблюдаются не простейшие решения, которые удается
найти аналитически, а их весьма сложные комбинации.
Обсудим кратко структуры в виде спиральных волн, которые экспериментально
наблюдаются в сердце при возникновении аритмии [17], в химически
возбудимой среде [3], а также в различных биологических средах.
Известное решение уравнения (24.1) для спиральных волн в двумерной среде
имеет вид и = F(N6-wt), где в и г - полярные координаты, а величина N
определяет число элементарных волн, вращающихся вместе; N называют также
топологическим зарядом. Спиральная волна с N > 1 на плоскости выглядит,
как многозаходная спираль (рис. 24.4). Спиральные вихри приведенного
вида, соответствующие жесткому вращению спирали вокруг неподвижной точки,
в эксперименте наблюдать не удалось; не исключено, что они неустойчивы. В
недавнем эксперименте [25] впервые наблюдались спиральные волны с
топологическим зарядом, равным двум, трем и четырем, однако они оказались
нестационарными.
Эксперимент проводился в среде, в которой реализовалась авто-
каталитическая реакция Белоусова-Жаботинского. Из рис. 24.5 видно, что
волны в центре вихря пульсируют: то сближаются, то расходятся, однако
структура в целом устойчива.
Качественно возможность существования спиральных волн в однородной ждущей
среде, т. е. среде, составленной из активных элементов с конечным
временем возбуждения и конечным временем восстановления (рефрактерности).
можно пояснить из довольно простых соображений. Пусть в среде имеется
локальное возмущение - пятно, внутри которого возбудимость элементов на
время потеряна. Рассмотрим рас-
1Автомодельными называют решения уравнений в частных производных, зави-
сящие лишь от одной переменной, которая является комбинацией всех
имеющихся.
Рис. 24.4. Спиральные вихри в двумерной активной среде: а-г - вихри с
топологическими зарядами, равными соответственно единице, двум, трем и
четырем
24.3. Спиральные и цилиндрические волны. Ведущие центры 523
Рис. 24.5. Пульсирующий спиральный вихрь с топологическим зарядом N = 3
пространение вокруг этого возмущения волны возбуждения. В общих чертах
распространение этой волны можно представить себе как распространение
импульсов по вложенным друг в друга концентрическим окружностям. Ясно,
что ввиду ограниченности предельной скорости распространения импульсов их
движение по различным окружностям должно быть неизохронным - возбуждение
вблизи локальной неоднородности будет вращаться быстрее, на периферии -
медленнее. Таким образом, вращающаяся вокруг спонтанно возникшей
