Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
почти сплошным.
При феноменологическом описании данного эксперимента в качестве модели
можно использовать уравнения непосредственно для Q-n(t) - амплитуд изгиба
границы между вихрями в паре с номером п [19]:
^ = 7"п + {щ - р)\ап\2ап + a+^(an+i + а"_i - 2ап) (23.3)
(n = 1, 2, ... , IV). Эти уравнения сконструированы следующим образом:
первые два слагаемых каждого уравнения совпадают с правой частью
известного уравнения Ландау [1]. Если у > 0, то это уравнение
дели, зависит от поставленного вопроса. Если нужно установить
принципиальную возможность возникновения хаоса при автомодуляции, то
может быть достаточно лишь трех мод. Если же стремиться к детальному
описанию всех наблюдаемых при увеличении надкритичности переходов и
эволюции спектра стохастического режима, то размерность модели следует
существенно увеличить.
1В работе [19] исследовалось течение Куэтта с существенно большим зазором
между цилиндрами, чем в работе [12], в которой модуляция параметров
вихрей Тейлора по вертикали не наблюдалась.
508
Глава 23
описывает рост и стабилизацию изгибных колебаний вихрей за счет
самовоздействия п взаимодействия со средним потоком. Модель (23.3)
учитывает еще и взаимодействие между вихрями. Поскольку из эксперимента
следует, что взаимодействие является малым, то естественно ограничиться
слагаемыми только первого порядка по амплитуде. Коэффициенты этой модели
в принципе должны определяться непосредственно из эксперимента. Добавим,
что (23.3) - это дифференциальноразностный аналог нелинейного уравнения
Шредингера для неравновесных сред [20].
При малых надкритичностях систему (23.3) из 30 уравнений можно укоротить
до трех и перейти к модели [20], в рамках которой также обнаруживается
хаотическая модуляция (см. гл. 22). Дальнейшее увеличение надкритичности
приводит к пяти уравнениям и т. д. Во всех этих моделях турбулентности
присутствует странный аттрактор, однако по мере увеличения числа
Рейнольдса размерность модели, в рамках которой он обнаруживается, должна
возрастать.
При исследовании распределенных систем возникает вопрос о том, в какой
мере для них справедливы закономерности универсальности и подобия в
поведении вблизи порога возникновения хаоса и в сценарии перехода к
хаосу, установленные для простых систем (см. гл. 22). О наблюдении таких
сценариев в экспериментах с ЛОВ при наличии отражений от замедляющей
системы мы уже указывали выше. Тщательные эксперименты с генератором
автостохастических колебаний, предложенным В. Я. Кисловым и его
сотрудниками [28], показали следующее (см., например, работу [29], в
которой исследуемый генератор представлял собой замкнутую в кольцо
цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и акустической линии задержки). При
изменении глубины обратной связи и настройки фильтра исследуемая
распределенная система демонстрировала практически все сценарии перехода
к хаосу, известные для простых систем: 1) через последовательность
бифуркации удвоения периода; 2) через разрушение квазипериодических
движений:
3) через бифуркации "удвоения торов"; 4) через перемежаемость.
23.4. Идеальные течения и турбулентность
Обсуждавшиеся до сих пор примеры убеждают нас, что переход от ламинарного
течения к турбулентному происходит при увеличении числа Рейнольдса (числа
Тейлора или Рэлея соответственно для течения с вращением и конвекции)
или, что эквивалентно, при уменьшении вязкости. В то же время п
практически невязкие течения (Re -> оо)
23.4. Идеальные течения и турбулентность
509
могут быть ламинарными, превращаясь, однако, в турбулентные при изменении
какого-либо параметра или внешнего возмущения, даже регулярного.
В строгом смысле турбулентности, т. е. стохастических автоколебаний, в
идеальной жидкости быть не может: из-за отсутствия диссипации в фазовом
пространстве течения невозможно существование притягивающих множеств
(аттракторов). Однако исследование стохастических идеальных течений
представляет безусловный интерес, поскольку некоторые их свойства, в
частности реакция на внешние возмущения, моделируют реальные течения при
больших числах Рейнольдса.
Подчеркнем, что течения с (Re -> оо) очень легко переходят в турбулентный
режим - для этого достаточно малого возмущения течения, которое может
быть результатом взаимодействия с другими течениями либо с внешними
полями.
Рассмотрим в качестве примера взаимодействие двумерного сдвигового
течения с акустической волной. В отсутствие вязкости движение жидкости
описывается уравнениями
^ + div(pt>) = 0, ~ + (vV)v + i gradp = 0, (23.4)
где р - плотность жидкости, р - давление, v - скорость. Первое из этих
уравнении выражает условие неразрывности, а второе - закон сохранения
количества движения элемента жидкости (уравнение Эйлера). При отыскании
решений полную скорость v удобно представить в виде суммы двух скоростей:
г> = г>1 г>2, где Vi = rot A, V2 = grad <р.
Физический смысл этого представления легко понять, рассмотрев два
предельных случая: = 0 и Hi = 0. В первом из них уравне-
