Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
спектрам а-е соответствуют значения Ra/RaKp, равные 21,0; 26,0: 27,0;
28,0; 36,9; 27,0 соответственно
стороны больших чисел Рэлея. Видно, что появилась другая, несоизмеримая с
/2 частота /*, взаимодействие которой с /2 и ее гармониками и
субгармониками существенно усложнило спектр течения. В фазовом
пространстве при этом существует, по-видимому, двумерный тор, бифуркации
которого и описывают изменение характера течения в этом случае.
Переход к стохастичности от режима биений. Разрушение двумерных торов.
Характер перехода к турбулентности, как уже отмечалось, существенно
зависит от геометрии течения. В частности, для конвективного течения в
ячейке принципиальными оказываются ее размеры.
500
Глава 23
Рис. 23.3. Различные пути возникновения турбулентной конвекции в
ячейке(изменялись число прандтля и размеры ячейки А - статический режим;
В - режим синхронизации мод, С - хаотический режим): а - возникновение
турбулентного режима в результате последовательности бифуркаций удвоения
(Рг = 5); в - разрушение
трехмерного тора (Рг = 5); г - разрушение двумерного тора
(Рг = 5)
А \ / | 2/ 4/| С
а Ra/RaKp
А 1 f 1 /,+/2 В | С
б Ra/RaKp
А 1 ^ 1 /1+/2 I/1+/2+/3I С
в Ra/RaKp
А 1 f 1 /,+/ с
Ra / RaKp
Так, в экспериментах [8] с водой (при температурах от 10 до 90° С число
Прандтля меняется от 9 до 2) при изменении геометрии плоской
горизонтальной ячейки наблюдалось несколько качественно различных путей
возникновения хаотической конвекции. Схематически они изображены на рис.
23.3 [8]. При увеличении числа Рэлея кроме последовательности удвоений
наблюдались также переходы типа стационарное состояние - периодическая
конвекция - квазипериодическая конвекция (с двумя или тремя
несоизмеримыми частотами) - хаотическая конвекция.
Переход от двухчастотного квазипериодического режима к хаотическому
обычно осуществляется через режим синхронизации мод с несоизмеримыми
частотами и последующим исчезновением или потерей устойчивости возникшего
периодического движения. Здесь сейчас известны два пути: 1) возникший на
двумерном торе в результате синхронизации предельный цикл испытывает
последовательность бифуркаций удвоения периода - этот путь исследован
экспериментально в работе [10] и теоретически обнаружен в [11]; 2)
возникшие на двумерном торе в результате синхронизации устойчивый и
седловой циклы сливаются и исчезают. При этом свойства стохастического
множества определяются либо гомоклинической структурой, принадлежащей
седловому циклу, либо сложной многоскладчатой структурой самого тора
[12].
Возникновение турбулентности при разрушении трехчастотного
квазипериодического режима. Разрушение трехмерного тора - один из
возможных путей перехода к турбулентности в закрытых течени-
23.2. Возникновение стохастических автоколебаний
501
<о
Рис. 23.4. Волны модуляции на вихрях Тейлора в течении Куэтта между
цилиндрами при вращении внутреннего цилиндра
ях - ячейках и полостях. Помимо уже упоминавшейся термоконвекции [9, 17]
такой переход наблюдался [12] в течении Куэтта между цилиндрами при
вращении внутреннего цилиндра1. При увеличении скорости вращения цилиндра
(при этом увеличивается число Тейлора или пропорциональное ему число
Рейнольдса) на вихрях Тейлора развиваются возмущения в виде изгибных
азимутальных волн вида exp(imz - тв) (рис. 23.4), где т характеризует
число вихрей Тейлора (номер моды по вертикали), ап - число длин волн,
укладывающихся на тороидальном вихре. Из спектров мощности скорости,
представленных на рис. 23.5, видно, что при увеличении скорости вращения
периодический режим азимутальных колебаний сменяется двупериодическим
(биения), затем возникает третья частота и спектр колебаний резко
уширяется. Бифуркация разрушения трехмерного тора с возникновением
притягивающего стохастического множества - странного аттрактора,
соответствующая такому переходу, сейчас найдена математиками [14].
Переход через перемежаемость. Также в экспериментах с термоконвекцией в
ячейке, но при больших числах Прандтля (для трансформаторного масла,
например, число Прандтля может быть равно нескольким сотням) был
обнаружен совершенно иной путь перехода к нерегулярному течению [15]. При
увеличении числа Рэлея периодический режим конвекции сменялся режимом с
редкими случайными всплесками, перемежающимися длительными регулярными
участками, затем (с ростом Ra) эти всплески становились все чаще и
течение превраща-
1Это течение очень похоже на конвекцию - роль архимедовых сил играют
центробежные. При превышении параметром Т = Q.2r2l2/v2 (Т - число
Тейлора; П, г - скорость вращения и радиус внутреннего цилиндра; I -
зазор между цилиндрами) критического значения Т\ течение становится
неустойчивым и возникают структуры в виде нанизанных на внутренний
цилиндр торов - вихри Тейлора '[13]).
502
Глава 23
f
Рис. 23.5. Переход к турбулентности в цилиндрическом течении Куэтта
(путем разрушения квазипериодического режима азимутальных колебаний
