Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть cosil = 1, тогда
(\/2n)\dn / dx\/п 1, (12.69)
где Л = Ао/п - длина волны в среде. Из неравенства (12.69) следует, что
приближение геометрической оптики справедливо, когда свойства среды
изменяются медленно на расстояниях порядка длины волны. Если п -> 0,
длина волны в среде А -> оо и изменения свойств среды даже при малой
производной \dn/dx\ на расстояниях порядка длины волны будут велики, так
что неравенство (12.69) нарушается. Очевидно, что оно нарушается и в
случае, когда производная \dn/dx\ велика.
При вертикальном падении волны на неоднородную среду обращение показателя
преломления среды в нуль есть условие отражения волны от среды. Такое
условие реализуется, например, для плазмы в радиодиапазоне [18]. В то же
время, как указано в [18], в разреженной плазме резкие градиенты п
(производная \dn/dx\ велика) могут возникнуть лишь как спорадическое
явление. В отсутствие поглощения для плазмы с концентрацией N(x) на
частоте ш
п2(х) - 1 - 4ne2N(x)/(mu)2).
(12.70)
258
Глава 12
При достаточно больших N(x) или малых со квадрат показателя преломления
обращается в нуль. В случае вертикального падения п = О, и согласно
соотношению (12.70) в точке отражения
N(x) = тш2/(4е2) = 1,24 • 10-8/2 [Гц] (12.71)
(здесь / - частота). Эта формула является одним из основных соотношений,
на основе которых интерпретируются ионосферные данные, результаты
радиоастрономических исследований солнечной атмосферы И др. [18].
Там, где условия применимости приближения геометрической оптики
нарушаются, нужно найти либо способы выхода за границы приближения, либо
точное решение уравнения, описывающего волновое распространение в
неоднородной среде. Для уравнения такого типа, как, например.
V2/ + kle{x)f = 0, (12.72)
точное решение может быть получено в нескольких частных случаях
зависимости е = е{х) - линейной, параболической, экспоненциальной и т. д.
Будем искать решение уравнения (12.72) вблизи точки поворота, так как
вдали от нее хорошо "работает" решение (12.64). Предположим, что среда
плоскослоистая (ее свойства в направлении z не меняются и, следовательно,
/ ~ ехр(-iaz). где а = const = fc0siiii?o при щ = 1), и будем
рассматривать волну, плоскость распространения которой лежит в плоскости
xz. С учетом сказанного уравнение (12.70) примет вид
d2 f /dx2 + kl[e(x) - sin2 #0]/ = 0- (12.73)
Его нужно решать при условии [&о[е(ж) - sin2$]} -> 0. При плавном
изменении свойств среды в окрестности точки поворота луча можно считать,
что е(х) изменяется по линейному закону, т. е. е{х) = = 1 -f (de/dx)x = 1
- x/xi, где х\ - расстояние от начала неоднородного слоя до области
отражения. В этом случае уравнение (12.73) можно записать так:
d2f/dx2 + &o[cos2 $о - x/xi]/ = 0. (12.74)
Сделаем в уравнении (12.74) замену переменных ? = (koXi)2x
х(cos2/3 в0 - x/xi), что превращает его в уравнение
d2f/de+U = 0, (12.75)
решение которого известно и имеет вид
/ = /"ФЮ,
(12.76)
12.4. Распространение волн в плоскослоистой среде
259
где Ф(?) = (Х/у/п) J cos(l3/3 + t?) dt - функция Эйри. Решение урав-о
нения (12.75) может быть представлено также через функции Ханкеля порядка
1/3 (см., например, [17]). При ? > О
/(?) = /о \/^73?1/2 [(2/3)?3/,г] ехр[(г27г)/3]
+
+ Я$[(3/2)?2/3]ехр[Н2тг)/3]}, (12.77)
а при ? < О
/(?) = /ог/^73?1/2 ехр(-г2тг/3)Я$[-г(2/3)|?|3/2]. (12.78)
Если ? 1, то естественно воспользоваться асимптотическими выра-
жениями для функций Ханкеля при больших значениях аргумента, что дает
Я$[(2/3)?3/2] = у/3/(7г?3/2) ехр{г[(2/3)?3/12 - (5/12)*]}, (12.79)
Я$[(2/3)?3/2] = \J3/(7г?3/2) ехр{г[-(2/3)?3/2 + (5/12)тт]}. (12.80)
Подставляя выражения (12.79) и (12.80) в формулы (12.77) и (12.78),
находим при ? > 0
и при ? < 0
/(?) = 2/о?"1/4 cos[(2/3)?3/2 + тг/4], /(?) = /о?_1/4 ехр[-(2/3)|?[3/2].
(12.81)
(12.82)
Возвращаясь к переменной х. из соотношений (12.81) и (12.82) окончательно
получаем при cos2 do - х/х\ > 0
f(x) = /о ' (fc0a:i)"'1/6(cos2 d0 - x/xi)~l,i x
X
~iko J \/cos2 $o - x/xidx + i(ir/4) о
x
ik0 j \/cos2 '(90 - x/x^ dx - "(*/4)
x < exp
+
+ exp
. (12.83)
260
Глава 12
а при cos2 $о - x/xi < 0
f(x) = fo{k0x1)~1/6\ cos2 ¦do -x/xi\l/i x
x exp
X
ко J | cos2 {>o - x/xi]1!4 cfej. (12.84)
Легко видеть, что выражение (12.83) отличается от решения (12.64),
полученного в приближении геометрической оптики, лишь постоянными
добавками, входящими в фазу падающей и отраженной волн. Кроме того, в
отличие от формулы (12.64) в соотношения (12.83) и (12.84) не включена
очевидная зависимость от z и t.
Рис. 12.2. Зависимость функции |/|2 от (2/3)?3^2, иллюстрирующая характер
изменения амплитуды поля вблизи области отражения в неоднородной среде
Поле f(x,z)elwt при cos2 во ~ х/х\ > 0 есть стоячая волна. Ее амплитуда
увеличивается с приближением к области отражения, сохраняя везде конечное
значение. Волнового процесса нет, когда cos2 $о - х/х 1 <0, - в эту
область проникает лишь экспоненциально затухающее поле. Когда cos2 во -
х/х\ = 0, происходит полное отражение волны (при отражении падающая и
