Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
отраженная волны сдвинуты по фазе на 7г/2). Описанные процессы
иллюстрируются рис. 12.2, взятом из [17].
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
Выше неоднократно отмечалось, что в приближении геометрической оптики
частичного отражения волн от неоднородной среды не происходит, т. е.
волны распространяются независимо. Как решать задачу. чтобы такое
отражение присутствовало в решении? Один из способов - найти поправки
следующего приближения к ВКБ-решению, из-за
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
261
которых встречные волны оказываются связанными. Однако можно поступить
иначе, применив другой метод, например метод Ван-дер-Поля. Сделаем это на
примере конкретной задачи - задачи о переходном слое. Поставим задачу
так: пусть есть слой ширины I, в котором свойства среды плавно
изменяются. На границу х = 0 слоя падает волна с амплитудой Л(0) = Ло;
амплитуда встречной (отраженной) волны на границе х - I равна нулю. Надо
найти амплитуду В{х) волны, возникающей из-за отражения от плавных
неоднородностей, т. е. найти амплитуду волны, распространяющейся в
отриательном направлении оси х. Введем новую переменную V = du/dx и
запишем для удобства (12.24) в виде системы двух уравнений первого
порядка:
du/dx - V, dV/dx - -кце(х)и. (12.85)
Решение системы (12.85) будем искать в виде (12.27), считая А и В
функциями координаты:
и = А(х)е{х)~ехр(-iip) +
+ В{х)е(х) 1^4ехр(iip), где ip = к0 J л/е{х) dx.
о
Так как вместо одной переменной и мы ввели две новые (А и В), то одно
соотношение, связывающее эти новые переменные, можно выбирать
произвольно. Потребуем из соображений удобства, чтобы выполнялось
равенство
+ = " (Ш)6)
\/s(x) 4{/е5(х) V?(x) 4 V?5(x)
Тогда V = - гк0?4^4А ехр( -гу>) + гк0?1^4В ехр(г</?). Подставляя это
выражение во второе уравнение системы (12.85), находим
-гк0?1/4А'е-^ - ik/Ae~lV- + ik0?1/4B'eiv + ik0= 0.
4?з/4 4?з/4
Объединение этого уравнения с условием (12.86) дает следующую систему
уравнений:
(4ггЛ' - e'A)e~iv + (4еВ' - e'J3)e'v = 0, (4sA' + e'A)e~iv - (4еВ' +
?'B)eiv = 0.
262
Глава 12
Разрешая эту систему относительно производных А' и В', получаем
А' = ^?-e2iv, В' = ^e~2i(p. (12.87)
Уравнения (12.87) - точные уравнения: пока сделана всего лишь замена
переменных - от и и V мы перешли к Л и Л. Но, поскольку неоднородность
слабая, е' мала по сравнению с е и, следовательно, А и В изменяются
медленно. Поэтому для решения (12.87) можно применить метод
последовательных приближений, полагая в нулевом приближении е' = 0 и А =
А0.
Подставляя А = А0 во второе уравнение из (12.87), получаем
X X
В(х) = А0 J |^ехр^-2ik J т/edo^Jdx.
о о
Учет поправки первого приближения дает
X X
А(х) = А0 + j ~^В(х) exp ^2ik0 J •Jedx^dx. о о
Это уже выход за рамки геометрической оптики: волны взаимодействуют друг
с другом - амплитуды их связаны.
Рассмотрим еще один пример линейного взаимодействия волн, имеющий важное
значение в СВЧ-электронике. В гл. 7 мы обсуждали распределенный ЛБВ-
усилптель и распределенный JIOB-генератор. Одно из главных достоинств
ЛБВ, ставшей основным прибором спутниковой связи, в том, что она
обеспечивает большой коэффициент усиления в широком диапазоне усиливаемых
частот (октава и более). Серьезной помехой работе усилителя является
возбуждение паразитных автоколебаний на обратной волне (физика
автоколебаний такая же. как в ЛОВ-генераторе). Популярный способ борьбы с
паразитным самовозбуждением - увеличение пускового тока, необходимого для
начала колебаний. Последнего можно добиться плавным изменением
геометрических параметров замедляющей системы вдоль длины пространства
взаимодействия, т. е. плавным изменением фазовой скорости обратной волны.
В простейшей постановке возникает задача о линейном взаимодействии
медленной волны пространственного заряда (МВПЗ) в электронном потоке (см.
гл. 10) с обратной электромагнитной волной, фазовая скорость которой
плавно изменяется вдоль направления движения
12.5. Линейное взаимодействие волн в неоднородной среде
263
электронов [II]1. Уравнение возбуждения продольной компоненты
напряженности электрического поля Е такой обратной волны сгруппированным
током 1м, обусловленным возбуждением в электронном потоке МВПЗ, имеет вид
dE/dx + [*fco(aO - (l/ko(x))dko(x)/dx\E = (\/2)ко(х)К1м(х), (12.89)
где k0 = ш/vф = k00?(x), k0o = 2ж/Х0. В качестве второго уравнения
используем уравнение (10.39):
dlM/dx + i(ke + kq)IM - -\keI0 / {W0kq)}E{x). (12.89)
Будем в дальнейшем использовать обозначения гл. 10.
Граничные условия к системе уравнений (12.88) и (12.89) сформулируем
следующим образом:
1М( 0) = 0, Я(0) = Ео, (12.90)
где Ео - неизвестная амплитуда напряженности электрического ВЧ-поля
обратной волны. Исключая из уравнений (12.88) и (12.89) Е(х), находим
(Р1м , Г -г, , , , , 1 dk0{x)\dIM ,
[ке + kq + ко(х)] - - | +
+ {i(ke + kq)[k0(x) - (l/ko)dko(x)/dx\ +
+ (l/4)C2k20(x)(QCr^2}lM = 0. (12.91) Будем искать решение уравнения
