Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
нарастания волны составляет ImA; = 7max = wp/(2ncp) и достигается при
шб/cjpVcp = %/3/2; при ш6/шруср ^ \/2 значения jvcp/u>p становятся чисто
мнимыми и все четыре волны имеют постоянные амплитуды. Итак,
гармоническое возмущение возрастает вдоль х.
Проанализируем теперь неустойчивость Гельмгольца [19]1. При рассмотрении
взаимодействия течений жидкости обычно приходится решать двумерную
задачу: скорость потоков должна зависеть не только от продольной
координаты х, но и от поперечной координаты у (рис. 7.11а). Однако в
частном случае, когда границу, через которую взаимодействуют потоки,
можно считать неразмытой, задачу удается свести к одномерной.
Предположим, что два слоя жидкости скользят друг относительно друга с
постоянными скоростями v0i и v02, участок поверхности разрыва скорости
плоский, плотности жидкостей постоянны и равны poi и /9о2, поскольку
жидкости не смешиваются (рис. 7.11а). Пусть на границе раздела возникло
слабое возмущение у' самой границы, ско-
1 Неустойчивость границы раздела движущихся жидкостей при poi Ф Р02
называют неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца.
7.4. Волны в потоках. Электронные потоки
171
У -~ р "^=Ч_ I и°' "
¦j -- --- Ло] - - _ > о
Пз\
Х II °о,=0,Ян
а) б) в)
Рис. 7.11. Неустойчивость Гельмгольца [19]: а - возмущения границы
раздела нет - два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу
друг другу; б- граница раздела возмущена - схематическое изображение
формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности
тангенциального разрыва скорости; в - исходная модель для анализа системы
поверхностный ветер (I) - неподвижная вода (II)
рости v' и давления р1 жидкости. Причем у', v' и р1 пропорциональны
exp(iwt - ikx). Для несжимаемой жидкости с одной стороны от
поверхности разрыва из уравнений Эйлера и непрерывности (см. гл.
5)
в линейном приближении имеем
? + divvi=0 (7-46)
(в первом уравнении учтено, что постоянная скорость направлена вдоль оси
х).
Применяя к обеим частям (7.46) операцию div и используя условие
несжимаемости жидкости, получаем
Решение (7.47) естественно искать в виде
Pi = Pi(y) ехр(гш? - ikx). (7.48)
Тогда для жидкости, занимающей пространство над разрывом у > О, из (7.47)
и (7.48) находим
р[ {у) = Ae~ky ei(ut~kx). (7.49)
Обозначим смещение границы через у' = у'(х, t). Тогда для поперечной
составляющей скорости v'y на самой границе справедливо соотношение ,
,
v'yl = = г(ш - kvoi)y[. (7.50)
172
Глава 7
Из уравнения Эйлера для "^-компоненты скорости с учетом (7.50) находим
связь между давлением р[ и смещением границы у(:
Pi = -(w - kv0i)2~^. (7.51)
Очевидно, что давление р'2 в области по другую сторону границы разрыва,
для которой у < 0, выразится соотношением, аналогичным (7.51), но с
противоположным знаком:
р2 = (и) + kv02)2^~-. (7.52)
В (7.52) учтено, что v02 < 0. Давления на границе раздела должны быть
равны; поэтому дисперсионное уравнение задачи имеет следующий вид:
(ш-kv oi)2 = + kv02)2, (7.53)
WT2 = 7)--rrr~[(p01v01 - P02V02) ± *(П01 + VQ2)\fpOlPQ2\- (7-54)
/-'01 -г [-*О л
Из (7.54) следует, что частота оказывается комплексной величиной, причем
всегда выполняется условие Imo; < 0 при действительных к. Это и есть
неустойчивость Гельмгольца, т.е. абсолютная неустойчивость. Механизм
неустойчивости объяснить довольно просто, исходя из закона Бернулли v2 +
2р/р = const. Если на границе раздела возникло возмущение, скажем
жидкость снизу границы приподнялась, то линии тока исказятся. В местах
сгущения линий тока возникают поперечные градиенты давления, приводящие к
усилению возмущений (см. рис. 7.11 (У и формулы (7.51), (7.52)).
Интересно, что Рэлей приводил этот механизм как объяснение полоскания
парусов и флагов под действием ветра; однако в действительности в этом
явлении проявляется механизм, связанный с возникновением и отрывом
вихрей.
7.5. Усиление и непропускание. Критерии разделения
С физической точки зрения кажется очевидным, что систему, в которой
реализуется конвективная неустойчивость, можно использовать для усиления
сигналов. Таким образом, если дисперсионное уравнение D(u>, к) = 0 при
действительном ш имеет комплексные решения
7.5. Усиление и непропускание. Критерии разделения
173
для к и асимптоты дисперсионных кривых имеют наклоны одного знака (см.
рис. 7.66 и 7.10в), то в системе есть усиление. На языке характеристик
это означает, что область распространения лежит по ту сторону от границы
х = 0, на которую подается сигнал. Обратный случай - когда асимптоты
имеют наклоны разных знаков - соответствует непропус-канию.
Столь простой критерий разделения усиления и непропускания применим лишь
к системам гиперболического типа. Для систем более общего вида существует
несколько более сложных критериев [15-18,20-22], один из которых -
критерий Бриггса [18] - мы здесь приведем. При решении дисперсионного
уравнения D(ui, к) = 0 будем считать w комплексным с Imw < 0. Узнать,
будет ли комплексное решение для к соответствовать усилению или
